Cálculo de una y varias variables / Roberto T. Seeley.

CONTENIDO
Primera Parte. Cálculo de una variable
0. Requisitos
0.1 Los números reales como puntos sobre una recta 21
0.2 Los símbolos si y si solo si 28
0.3 Puntos en el plano 29
0.4 Funciones y gráficas 48
1. Introducción a las derivadas
1.1 Límites 73
1.2 Derivadas 83
1.3 Reflexión en un espejo parabólico 93
1.4 La derivada como ayuda para construir gráficas 98
1.5 Problemas de máximo 103
1.6 El método de Newton para las raíces cuadradas (opcional) 108
Apéndice: La exactitud del método de Newton para las raíces cuadradas (opcional) 112
1.7 La velocidad y otras aplicaciones 116
1.8 La notación de Leibniz 131
2. Cálculo de derivadas
2.1 Derivadas de sumas y productos 137
2.2 La derivada de un cociente 147
2.3 Derivadas de funciones trigonométricas 154
Apéndice: Las funciones trigonométricas 161
2.4 Las funciones compuestas y la regla de la cadena 173
2.5 Derivadas de funciones inversas 186
2.6 El logaritmo natural 195
2.7 Logaritmos y exponenciales 209
2.8 Funciones hiperbólicas (opcional) 218
2.9 Resumen de fórmulas de derivación 222
2.10 Diferenciación implícita y razones relacionadas 226
2.11 Algunos ejemplos geométricos (opcional) 233
3. Aplicaciones de las derivadas
3.1 Funciones crecientes y decrecientes 242
3.2 Gráficas paralelas 250
3.3 Crecimiento y declinación exponenciales 257
3.4 Derivadas de segundo orden 262
3.5 Movimiento periódico (opcional) 272
4. Teoría de máximos
4.1 El teorema del valor máximo 280
4.2 El teorema del valor medio 297
5. Introducción a las integrales
5.1 La integral definida 306
5.2 Un problema de existencia 319
5.3 El teorema fundamental del cálculo 322
5.4 Algunas aplicaciones de las integrales 334
5.5 Intervalos no acotados y funciones discontinuas 354
6. Técnicas de integración
6.1 Combinaciones lineales 365
6.2 Sustitución 371
Apéndice: Completando el cuadrado 381
6.3 Integración por partes 383
6.4 Funciones racionales 392
6.5 Integrales trigonométricas especiales 412
6.6 Sustitución trigonométrica 419
6.7 Ecuaciones diferenciales separables 427
6.8 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 433
6.9 Generalidades sobre ecuaciones diferenciales 441
7. Los factores y las leyes del movimiento
7.1 Vectores planos 445
7.2 Longitud y producto interior 450
7.3 Los vectores en geometría analítica 458
7.4 Trayectorias en el plano 467
7.5 Diferenciación de funciones vectoriales; velocidad y aceleración 471
7.6 La regla de L'Hopital 481
7.7 La geometría de las curvas para métricas (opcional) 487
7.8 Coordenadas polares 493
7.9 El área y la longitud del arco en coordenadas polares 500
7.10 Vectores y coordenadas polares 505
7.11 Movimiento planetario 511
8. Números complejos
8.1 Definición y propiedades algebraicas elementales de los números complejos 519
8.2 Geometría de los números complejos 525
8.3 Multiplicación de los números complejos 527
8.4 Funciones complejas de una variable real 535
8.5 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes; el caso de las homogéneas de segundo orden 542
8.6 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes; el caso general 551
8.7 El teorema fundamental del álgebra 561
9. Aproximaciones
9.1 Aproximación por la recta tangente 569
9.2 La expansión de Taylor 572
9.3 El método de Newton 581
9.4 La regla del trapezoide y la regla de Simpson 585
10. Sucesiones infinitas
10.1 Límite de una sucesión 595
10.2 El álgebra de los límites 603
10.3 Sucesiones acotadas y sucesiones monótonas 616
10.4 Límites de sucesiones y límites de funciones 622
10.5 El teorema de Bolzano-Weierstrass 629
110. Series infinitas
11.1 Algunos usos y abusos de las series infinitas 636
11.2 La suma de una serie infinita 646 11.3 Series positivas 658
Apéndice: estimaciones del error (opcional) 670
11.4 Convergencia absoluta; series alternadas 672
11.5 Series de potencias 678
11.6 Definición analítica de las funciones trigonométrica y exponencial 697
11.7 Agrupamiento, reordenación y productos de series 703
Segunda Parte. Cálculo de diversas variables
1. Vectores
1.1 El espacio vectorial R3 714
1.2 El producto cruz 726
1.3 Esferas, planos y rectas 738
1.4 El espacio vectorial Rn 754
1.5 Dependencia lineal y bases 760
2. Curvas en Rn
2.1 Definiciones y propiedades elementales 782
2.2 La ley del movimiento de Newton 794
2.3 La geometría de las curvas en R3 803
3. Diferenciación de funciones de dos variables
3.1 Definiciones, ejemplos y teoremas elementales 816
3.2 Polinomios de primer grado 830 Apéndice: programación lineal bidimensional 836
3.3 Derivadas parciales, el gradiente y la regla de la cadena 845
3.4 Cálculos con la regla de la cadena 864
3.5 El teorema de la función implícita 872
3.6 Derivadas de orden superior 886
3.7 La expansión de Taylor 894
3.8 Máximos y mínimos 900
4. Integrales dobles, campos Vectoriales e integrales curvilíneas
4.1 Integrales dobles 909
4.2 Campos vectoriales 924
4.3 Integrales curvilíneas 932
4.4 El teorema de Green 946
4.5 Cambio de variable 961
5. Funciones de n variables
5.1 Continuidad, derivadas parciales y gradientes 973
5.2 El teorema de la función implícita 985
5.3 Expansiones de Taylor 992
5.4 Campos vectoriales e integrales curvilíneas en R3 996
5.5 Integrales de superficie y el teorema de Stokes 1002
5.6 Integrales triples 1018
5.7 El teorema de la divergencia 1028
5.8 Breve introducción a las formas diferenciales 1036
Apéndice 1. Números
1.1 Sumación I 1045
1.2 La inducción matemática y los números naturales 1050
1.3 Las desigualdades y los números racionales 1057
1.4 Campos ordenados 1062
1.5 El axioma del supremo y los números reales 1072
1.6 Los enteros como números reales: la propiedad arquimediana 1077
Apéndice 2. Cómo probar las proposiciones básicas del cálculo
2.1 Límites 1081
2.2 Más límites 1091
2.3 Derivadas y tangentes 1096
2.4 Funciones continuas 1099 2.5 Funciones continuas sobre un intervalo cerrado finito 1103
2.6 Funciones inversas 1111
2.7 Continuidad uniforme 1116
2.8 Integrales de funciones continuas 1120
2.9 Longitud de arco 1137 2.10 La regla de L'Hopital para el caso infinito sobre infinito 1144
Respuestas a problemas seleccionados
Cálculo de una variable 1147
Cálculo de varias variables 1172
Tabla de logaritmos naturales 1186
Indice de materias 1189