5000 problemas de análisis matemático / B. P. Demidóvich.

CONTENIDO
PRIMERA PARTE. FUNCIONES DE UNA VARIABLE INDEPENDIENTE
Capítulo I. Introducción al análisis 13
1. Los números reales 13
2. Teoría de las sucesiones 19
3. Concepto de función 33
4. Representación gráfica de las funciones 40
5. Límite de una función 53
6. Orden infinitesimal y orden de crecimiento de una función. 0-simbolismo 74
7. Continuidad de una función 78
8. Función inversa. Funciones en forma paramétrica 88
9. Continuidad uniforme de una función 91
10. Ecuaciones funcionales 94
Capítulo II. Cálculo diferencial de las funciones de una variable 97
1. Derivada de una función explícita 97
2. Derivada de la función inversa. Derivada de una función dada en forma paramétrica. Derivada de una función dada en forma implícita 113
3. Significado geométrico de la derivada 115
4. Diferencial de una función 120
5. Derivadas y diferenciales de orden superior 123
6. Teoremas de Rolle, Lagrange y Cauchy 134
7. Crecimiento y decrecimiento de una función. Desigualdades 141
8. Sentido de la concavidad. Puntos de inflexión 145
9. Cálculo de límites indeterminados 148
10. Fórmula de Taylor 152
11. Extremo de una función. Valores absolutos máximo y mínimo de una función 158
12. Construcción de las gráficas de las funciones por sus puntos característicos 163
13. Problemas de máximos y mínimos de funciones 166
14. Contacto de curvas. Círculo osculador. Evoluta 169
15. Resolución aproximada de ecuaciones 172
Capítulo III. Integral indefinida 175
1. Integrales indefinidas elementales 175
2. Integración de funciones racionales 184
3. Integración de funciones irracionales 187
4. Integración de funciones trigonométricas 191
5. Integración de diversas funciones transcendentes 196
6. Diversos ejercicios de integración de funciones 199
Capítulo IV. Integral definida 203
1. La integral definida como el límite de una suma 203
2. Cálculo de integrales definidas mediante integrales indefinidas 208
3. Teoremas de la media 219
4. Integrales impropias 223
5. Cálculo de áreas 231
6. Cálculo de las longitudes de los arcos 235
7. Cálculo de volúmenes 237
8. Cálculo de áreas de superficies de revolución 240
9. Cálculo de momentos. Coordenadas del centro de gravedad 241
10. Problemas de mecánica y física 243
11. Cálculo aproximado de integrales definidas 245
Capítulo V. Series 249
1. Series numéricas. Criterios de convergencia de series de términos de signo constante 249
2. Criterios de convergencia de series de términos de signo variable 262
3. Operaciones con las series 269
4. Series funcionales 270
5. Series potenciales 283
6. Series de Fourier 295
7. Sumación de series 301
8. Cálculo de integrales definidas por medio de series 304
9. Productos infinitos 306
10. Fórmula de Stirling 312
11. Aproximación de las funciones continuas mediante polinomios 313
SEGUNDA PARTE. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
Capítulo VI. Cálculo diferencial de las funciones de varias variables 317
1. Límite de una función. Continuidad 317
2. Derivadas parciales. Diferencial de una función 323
3. Derivación de las funciones implícitas 338
4. Cambio de variables 349
5. Aplicaciones geométricas 363
6. Fórmula de Taylor 369
7. Extremo de una función de varias variables 372
Capítulo VII. Integrales paramétricas 381
1. Integrales propias paramétricas 381
2. Integrales impropias paramétricas. Convergencia uniforme de las integrales 387
3. Derivación e integración de integrales impropias bajo el signo integral 394
4. Integrales eulerianas 401
5. Fórmula integral de Fourier 405
Capítulo VIII. Integrales múltiples y curvilíneas 409
1. Integrales dobles 409
2. Cálculo de áreas 418
3. Cálculo de volúmenes 420
4. Cálculo de áreas de superficies 423
5. Aplicaciones de las integrales dobles a la mecánica 425
6. Integrales triples 428
7. Cálculo de volúmenes mediante integrales triples 433
8. Aplicaciones de las integrales triples a la mecánica 436
9. Integrales impropias dobles y triples 440
10. Integrales múltiples 444
11. Integrales curvilíneas 448
12. Fórmula de Green 458
13. Aplicaciones físicas de las integrales curvilíneas 463
14. Integrales de superficie 466
15. Fórmula de Stokes 471
16. Fórmula de Ostrogradski 473
17. Elementos de la teoría de campo 478
Respuestas 491
APÉNDICES
I. Constantes principales 598
II. Tablas 598
1. Magnitudes inversas. Raíces cuadradas y cúbicas. Función exponencial 598
2. Mantisas de los logaritmos decimales 598
3. Logaritmos naturales 599
4. Funciones hiperbólicas 599
5. Facturial y funciones relacionadas con él 599
6. Funciones trigonométricas 600
7. Función Gamma 600