Análisis matemático avanzado : con aplicaciones a ingeniería y ciencias / J. N. Reddy, M. L. Rasmussen.

CONTENIDO
1. ELEMENTOS DE ANALISIS VECTORIAL Y TENSORIAL 15
1.1 Introducción 15
1.1.1 Comentarios preliminares 15
1.1.2 Concepto de vector ordinario 16
1.2 Algebra vectorial 16
1.2.1 Representación de un vector 16
1.2.2 Adición y sustracción 17
1.2.3 Definición (geométrica) de un vector 19
1.2.4 Multiplicación por un escalar 19
1.2.5 Vector unidad 19
1.2.6 Vector nulo 20
1.2.7 Dependencia lineal 20
1.2.8 Producto escalar de dos vectores 20
1.2.9 Producto vectorial de dos vectores 21
1.2.10 Area plana como vector 23
1.2.11 Velocidad de un punto de un cuerpo rígido rotatorio 25
1.2.12 Productos múltiples 26
1.2.13 Componentes de un vector 31
1.2.14 Base dual o recíproca 32
1.2.15 Convención sumatoria 34
1.2.16 Sistemas de bases ortonormales 34
1.2.16 Especificación de un vector 36
1.2.18 Ley de transformación para bases diferentes 37
1.3 Matrices y ecuaciones lineales 42
1.3.1 Comentarios introductorios 42
1.3.2 Definición de una matriz 43
1.3.3 Multiplicación matricial 44
1.3.4 Inversa de una matriz 45
1.3.5 Adición matricial 46
1.3.6 Transpuesta de una matriz 46
1.3.7 Matrices simétricas, simétricas oblicuas y triangulares 46
1.3.8 Operaciones matriciales elementales 47
1.3.9 Determinante de una matriz 48
1.3.10 Menor, cofactor y adjunta de una matriz 50
1.3.11 Solución de ecuaciones lineales 51
1.4 Sistemas coordenados y cálculo vectorial 59
1.4.l Derivación respecto a un escalar 59
1.4.2 Coordenadas cartesianas 62
1.4.3 Coordenadas curvilíneas 63
1.4.4 La métrica fundamental 65
1.4.5 La norma de un vector unitario 67
1.4.6 Relación entre componentes y bases covariantes y contravariantes 67
1.4.7 Notación matricial para el tensor métrico 69
1.4.8 Componente física de un vector 70
1.4.9 Sistemas curvilíneos ortogonales 71
1.4.10 Ejemplos de sistemas coordenados curvilíneos ortogonales 73
1.4.11 Relación entre dos sistemas coordenados curvilíneos 77
1.4.12 Definición (analítica) de un vector 79
1.4.13 Derivadas de vectores base ortonormales 81
1.4.14 Derivadas de vectores en marcos de referencia rotatorios 88
1.4.15 Derivadas de vectores base unitarios 98
1.4.16 Derivada de una función escalar de un vector 105
1.4.17 El operador nabla 107
1.4.18 La divergencia de un vector 108
1.4.19 El laplaciano de un escalar 110
1.4.20 El rotacional de un vector 111
1.4.21 Relaciones integrales 117
1.5 Diádicas y temores 129
1.5.1 Diádicas en aplicaciones físicas 129
1.5.2 Propiedades generales de las diádicas 135
1.5.3 Forma noniónica de una diádica 136
1.5.4 Componentes de una diádica 138
1.5.5 Diádicas simétricas y antisimétricas, 139
1.5.6 Separación de una diádica en sus partes simétrica y antisimétrica 139
1.5.7 Transformaciones de tensores de segundo orden (diádicas) 140
1.5.8 El tensor unidad 142
1.5.9 Con tracción de un tensor de según do orden 143
1.5.10 Vector de un tensor de segundo orden 143
1.5.11 Invariantes de un tensor de segundo orden 144
1.5.12 Diádicas con bases ortonormales 144
1.5.13 El producto doble punto 144
1.5.14 El gradiente tensorial 146
1.5.15 Divergencia de un tensor de segundo orden 150
1.5.16 Teoremas integrales para diádicas 153
1.5.17 Desarrollos de series de Taylor 153
1.5.18 Movimiento relativo entre dos puntos vecinos en un campo de velocidades continuo 154
1.5.19 Vectores propios asociados con diádicas 160
1.5.20 Tensores de orden superior 169
1.5.21 Tensores isotrópicos 171
2. ELEMENTOS DE ANALISIS FUNCIONAL 179
2.1 Comentarios introductorios 179
2.2 Elementos de álgebra lineal 180
2.2.1 Introducción y notación 180
2.2.2 Conjuntos y operaciones con conjuntos 181
2.2.3 Productos cartesianos, relaciones y clases de equivalencia 186
2.2.4 Funciones e inversas 188
2.3 Métrica y espacios métricos 197
2.3.1 Métrica y pseudo métrica 197
2.3.2 Desigualdades de Holder y de Minkowski 198
2.3.3 Espacio métrico, subespacio y espacios producto 201
2.3.4 Continuidad, convergencia y perfección en espacios métricos 204
2.3.5 Algunos conceptos adicionales de espacios métricos 209
2.4 Espacios vectoriales lineales 214
2.4.1 Definición de un espacio vectorial lineal 215
2.4.2 Dependencia lineal e independencia lineal de vectores 220
2.4.3 Cobertura, base y dimensión 222
2.5 Espacios normados y de productos internos 233
2.5.1 Norma de un vector 234
2.5.2 Espacios lineales normados 236
2.5.3 Producto interno y espacios de productos internos 240
2.6 Transformaciones lineales (u operadores) y funcionales 253
2.6.1 Transformaciones lineales 253
2.6.2 Transformaciones lineales continuas 257
2.6.3 Operadores de proyección ortogonal 263
2.6.4 Uso de matrices para representar transformaciones lineales 266
2.6.5 Funcionales lineales, formas bilineales y formas cuadráticas 268
2.7 Conceptos adicionales de la teoría de los espacios de Hilbert 280
2.7.l Teorema de la proyección 280
2.7.2 Funcionales lineales continuos y operadores adjuntos en espacios de Hilbert 283
2.7.3 Bases ortonormales y series de Fourier generalizadas 290
2.7.4 Espacios de Hilbert separables y aproximación por mínimos cuadrados 300
2.8 Existencia y unicidad de soluciones 310
2.8.1 Forma vectorial de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales 310
2.8.2 Condiciones para la existencia y unicidad de soluciones de ecuaciones lineales 311
2.8.3 Condiciones de resolubilidad (o compatibilidad) para ecuaciones con operadores lineales 317
2.8.4 Condiciones para la existencia y unicidad de soluciones de problemas variacionales 321
3. CALCULO DE VARIACIONES Y METODOS VARIACIONALES 337
3.1 Introducción 337
3.2 Máximos y mínimos de funciones 337
3.2.1 Minimización no restringida 339
3.2.2 Minimización restringida 340
3.3 Máximos y mínimos de funcionales y ecuaciones de Euler 348
3.3.1 Algunos problemas variacionales clásicos 348
3.3.2 Derivación de funcionales 351
3.3.3 El símbolo variacional 354
3.3.4 El espacio de variaciones admisibles 357
3.3.5 Condiciones necesarias para la existencia de un mínimo de un funcional 359
3.3.6 Ecuaciones de Euler: condiciones de frontera naturales y esenciales 360
3.3.7 Puntos extremos variables: condiciones de transversalidad 370
3.3.8 Minimización de funcionales sujetos a restricciones 372
3.4 Formulación variacional mediante el principio de Hamilton 386
3.4.1 Introducción 386
3.4.2 El principio de Hamilton para una sola partícula 387
3.4.3 Fuerzas conservativas 388
3.4.4 Coordenadas generalizadas 389
3.4.5 Ecuaciones de Lagrange 390
3.4.6 Fuerzas no conservativas 393
3.4.7 Restricciones 395
3.4.8 Restricciones no holonómicas 398
3.4.9 Principio de Hamilton para un sistema de N partículas 400
3.4.10 Movimiento rotacional de cuerpos rígidos 405
3.4.11 Angulos de Euler 408
3.4.12 Ecuaciones de Lagrange para movimiento rotatorio 409
3.4.13 Restricciones para movimiento de rodamiento 411
3.4.14 Principio de Hamilton para un medio continuo 414
3.5 Construcción de funcionales a partir de ecuaciones de régimen: el problema inverso 425
3.5.1 Formulación variacional por el procedimiento inverso 425
3.5.2 Construcción de funcionales mediante el teorema de Vainberg 434
3.6 Métodos variacionales de aproximación 448
3.6.1 Introducción 448
3.6.2 El método de Ritz 452
3.6.3 El método de Galerkin 480
3.6.4 Métodos de mínimos cuadrados, de colocación, de Courant y de residuos ponderados 489
3.6.5 Observaciones finales sobre los métodos variacionales de aproximación 498
Indice 535