Variable compleja y aplicaciones /
Brown, James Ward
Variable compleja y aplicaciones / James Ward Brown, Ruel Vance Churchill. - 7ma. [ì.e. en inglés, 1ra. en español] - Madrid : McGraw-Hill, 2004 - 457 p.
CONTENIDO
Capítulo 1 Números complejos 1
Sumas y productos 1
Propiedades algebraicas básicas 3
Otras propiedades 5
Módulos 8
Complejos conjugados 11
Forma exponencial 15
Productos y cocientes en forma exponencial 17
Raíces de números complejos 22
Ejemplos 25
Regiones en el plano complejo 29
Capítulo 2. Funciones analíticas 33
Funciones de una variable compleja 33
Transformaciones 36
Transformaciones con la función exponencial 40
Límites 43
Teoremas sobre límites 46
Límites en el infinito 48
Continuidad 51
Derivadas 54
Fórmulas de derivación 57
Ecuaciones de Cauchy-Riemann 60
Condiciones suficientes de derivabilidad 63
Coordenadas polares 65
Funciones analíticas 70
Ejemplos 72
Funciones armónicas 75
Prolongación analítica 80
El principio de reflexión 82
Capítulo 3. Funciones elementales 87
La función exponencial 87
La función logaritmo 90
Ramas y derivadas de logaritmos 92
Algunas identidades con logaritmos 95
Exponentes complejos 97
Funciones trigonométricas 100
Funciones hiperbólicas 105
Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas 108
Capítulo 4. Integrales 111
Derivadas de funciones w(t) 111
Integrales definidas de funciones w(t) 113
Caminos 116
Integrales de camino 122
Ejemplos 124
Cotas superiores para los módulos de integrales de camino 130
Primitivas 135
Ejemplos 138
El teorema de Cauchy-Goursat 142
Demostración del teorema 144
Dominios simplemente y múltiplemente conexos 149
Fórmula integral de Cauchy 157
Derivadas de funciones analíticas 158
El teorema de Liouville y el teorema fundamental del Álgebra 165
Principio del módulo máximo 167
Capítulo 5. Series 175
Convergencia de sucesiones 175
Convergencia de series 178
Series de Taylor 182
Ejemplos 185
Series de Laurent 190
Ejemplos 195
Convergencia absoluta y uniforme de series de potencias 200
Continuidad de la suma de series de potencias 204
Integración y derivación de series de potencias 206
Unicidad del desarrollo en serie 210
Multiplicación y división de series de potencias 215
Capítulo 6. Residuos y polos 221
Residuos 221
El teorema de los residuos de Cauchy 225
Reducción a un único residuo 227
Los tres tipos de puntos singulares aislados 231
Residuos y polos 234
Ejemplos 236
Ceros de funciones analíticas 239
Ceros y polos 242
Comportamiento local de f en los puntos singulares aislados 247
Capítulo 7. Aplicaciones de los residuos 251
Cálculo de integrales impropias 251
Ejemplo 254
Integrales impropias en el análisis de Fourier 259
El lema de Jordan 262
Caminos con muesca 267
Muesca en torno a un punto de ramificación 270
Integración sobre un corte de ramificación 273
Integrales definidas en senos y cosenos 178
El principio del argumento 281
El teorema de Rouché 284
Transformadas inversas de Laplace 288
Ejemplos 291
Capítulo 8. Transformaciones elementales 299
Transformaciones lineales 299
La aplicación w 301
Transformaciones bajo 1/z 303
Transformaciones racionales lineales 307
Una forma implícita 310
Transformaciones del semiplano superior 313
La transformación w 318
Transformación W 324
Raíces cuadradas de polinomios 329
Superficies de Riemann 335
Superficies de Riemann de funciones relacionadas 338
Capítulo 9. Transformaciones conformes 343
Conservación de ángulos 343
Factores de escala 346
Inversas locales 384
Funciones armónicas conjugadas 352
Transformaciones de funciones armónicas 353
Transformaciones de condiciones de contorno 355
Capítulo 10. Aplicaciones de las transformaciones conformes 361
Temperaturas estacionarias 361
Temperaturas estacionarias en un semiplano 363
Un problema relacionado 366
Temperaturas en un cuadrante 368
Potencial electrostático 373
Potencial en un espacio cilíndrico 374
Flujo de un fluido bidimensional379
La función de corriente 381
Flujos en torno a una esquina y a un cilindro 383
Capítulo 11. La transformación de Schwarz-Christoffel 391
Aplicación del eje real sobre un polígono 391
La transformación de Schwarz-Christoffel 393
Triángulos y rectángulos 397
Polígonos degenerados 401
Flujo de fluido en un canal por una rendija 406
Flujo en un canal con una esquina 408
Potencial electrostático en tomo a un borde 411
Capítulo 12. Fórmulas integrales de tipo Poisson 417
Fórmula integral de Poisson 417
Problema de Dirichlet para un disco 420
Problemas de contorno relacionados 423
Fórmula integral de Schwarz 427
Problema de Dirichlet para un semiplano 429
Problemas de Neumann 433
Apéndices 437
Bibliografía 437
Tabla de transformaciones de regiones 441
Indice 451
8448142128
VARIABLE COMPLEJA
NUMEROS COMPLEJOS
FUNCIONES VARIABLES COMPLEJAS
TRANSFORMACIONES CONFORMES
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
RESIDUOS-MATEMATICA
TEOREMA DE CAUCHY
LEMA DE JORDAN
TEOREMA DE ROUCHE
TRANSFORMACION DE SCHWARZ-CHRISTOFFEL
517.53 C995v 2004
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CONTENIDO
Capítulo 1 Números complejos 1
Sumas y productos 1
Propiedades algebraicas básicas 3
Otras propiedades 5
Módulos 8
Complejos conjugados 11
Forma exponencial 15
Productos y cocientes en forma exponencial 17
Raíces de números complejos 22
Ejemplos 25
Regiones en el plano complejo 29
Capítulo 2. Funciones analíticas 33
Funciones de una variable compleja 33
Transformaciones 36
Transformaciones con la función exponencial 40
Límites 43
Teoremas sobre límites 46
Límites en el infinito 48
Continuidad 51
Derivadas 54
Fórmulas de derivación 57
Ecuaciones de Cauchy-Riemann 60
Condiciones suficientes de derivabilidad 63
Coordenadas polares 65
Funciones analíticas 70
Ejemplos 72
Funciones armónicas 75
Prolongación analítica 80
El principio de reflexión 82
Capítulo 3. Funciones elementales 87
La función exponencial 87
La función logaritmo 90
Ramas y derivadas de logaritmos 92
Algunas identidades con logaritmos 95
Exponentes complejos 97
Funciones trigonométricas 100
Funciones hiperbólicas 105
Funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas 108
Capítulo 4. Integrales 111
Derivadas de funciones w(t) 111
Integrales definidas de funciones w(t) 113
Caminos 116
Integrales de camino 122
Ejemplos 124
Cotas superiores para los módulos de integrales de camino 130
Primitivas 135
Ejemplos 138
El teorema de Cauchy-Goursat 142
Demostración del teorema 144
Dominios simplemente y múltiplemente conexos 149
Fórmula integral de Cauchy 157
Derivadas de funciones analíticas 158
El teorema de Liouville y el teorema fundamental del Álgebra 165
Principio del módulo máximo 167
Capítulo 5. Series 175
Convergencia de sucesiones 175
Convergencia de series 178
Series de Taylor 182
Ejemplos 185
Series de Laurent 190
Ejemplos 195
Convergencia absoluta y uniforme de series de potencias 200
Continuidad de la suma de series de potencias 204
Integración y derivación de series de potencias 206
Unicidad del desarrollo en serie 210
Multiplicación y división de series de potencias 215
Capítulo 6. Residuos y polos 221
Residuos 221
El teorema de los residuos de Cauchy 225
Reducción a un único residuo 227
Los tres tipos de puntos singulares aislados 231
Residuos y polos 234
Ejemplos 236
Ceros de funciones analíticas 239
Ceros y polos 242
Comportamiento local de f en los puntos singulares aislados 247
Capítulo 7. Aplicaciones de los residuos 251
Cálculo de integrales impropias 251
Ejemplo 254
Integrales impropias en el análisis de Fourier 259
El lema de Jordan 262
Caminos con muesca 267
Muesca en torno a un punto de ramificación 270
Integración sobre un corte de ramificación 273
Integrales definidas en senos y cosenos 178
El principio del argumento 281
El teorema de Rouché 284
Transformadas inversas de Laplace 288
Ejemplos 291
Capítulo 8. Transformaciones elementales 299
Transformaciones lineales 299
La aplicación w 301
Transformaciones bajo 1/z 303
Transformaciones racionales lineales 307
Una forma implícita 310
Transformaciones del semiplano superior 313
La transformación w 318
Transformación W 324
Raíces cuadradas de polinomios 329
Superficies de Riemann 335
Superficies de Riemann de funciones relacionadas 338
Capítulo 9. Transformaciones conformes 343
Conservación de ángulos 343
Factores de escala 346
Inversas locales 384
Funciones armónicas conjugadas 352
Transformaciones de funciones armónicas 353
Transformaciones de condiciones de contorno 355
Capítulo 10. Aplicaciones de las transformaciones conformes 361
Temperaturas estacionarias 361
Temperaturas estacionarias en un semiplano 363
Un problema relacionado 366
Temperaturas en un cuadrante 368
Potencial electrostático 373
Potencial en un espacio cilíndrico 374
Flujo de un fluido bidimensional379
La función de corriente 381
Flujos en torno a una esquina y a un cilindro 383
Capítulo 11. La transformación de Schwarz-Christoffel 391
Aplicación del eje real sobre un polígono 391
La transformación de Schwarz-Christoffel 393
Triángulos y rectángulos 397
Polígonos degenerados 401
Flujo de fluido en un canal por una rendija 406
Flujo en un canal con una esquina 408
Potencial electrostático en tomo a un borde 411
Capítulo 12. Fórmulas integrales de tipo Poisson 417
Fórmula integral de Poisson 417
Problema de Dirichlet para un disco 420
Problemas de contorno relacionados 423
Fórmula integral de Schwarz 427
Problema de Dirichlet para un semiplano 429
Problemas de Neumann 433
Apéndices 437
Bibliografía 437
Tabla de transformaciones de regiones 441
Indice 451
8448142128
VARIABLE COMPLEJA
NUMEROS COMPLEJOS
FUNCIONES VARIABLES COMPLEJAS
TRANSFORMACIONES CONFORMES
TRANSFORMACIONES ELEMENTALES
RESIDUOS-MATEMATICA
TEOREMA DE CAUCHY
LEMA DE JORDAN
TEOREMA DE ROUCHE
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