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100	1		_aBurgos Román, Juan de
245	1	0	_aCálculo infinitesimal de una variable / _cJuan de Burgos Román.
260			_aMadrid: _bMcGraw-Hill, _c1994
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505	8	0	_aCONTENIDO Capítulo 1. Sucesiones reales: límites 4 1.1. Algo sobre los números racionales 5 Los números racionales (compendio) 5 Propiedades de los números racionales 7 Carácter incompleto de Q 10 Sucesiones monótonas y acotadas de números racionales 11 1.2. El sistema de los números reales 12 Principales propiedades de R 14 Ejemplo: el número e 16 Extremos de las sucesiones monótonas y acotadas 17 Valor absoluto de un número real 20 Entornos 21 Los símbolos mas infinito y menos infinito 22 1.3. Límites de sucesiones 23 Sucesiones reales 23 Sucesiones convergentes 24 Primeras propiedades de los limites 27 Infinitésimos 29 Sucesiones divergentes o infinitos 32 1.4. Cálculo y propiedades de los límites 34 Desigualdades entre sucesiones y límites 34 Propiedades aritméticas de los límites 37 Ejercicio (sobre el número e) 40 Casos de indeterminación en el cálculo de límites 41 Regla de Stolz; consecuencias 45 Ordenes de los infinitésimos y de los infinitos 49 Equivalencias entre infinitésimos y entre infinitos 51 Sobre las indeterminaciones en forma de potencia 55 1.5. Acerca de los axiomas de R 56 Definición axiomática de R 57 Algunas consecuencias de los axiomas 58 Representación decimal 60 Potencias y logaritmos 61 Cardinal de R: potencia del continuo 62 1.6. Propiedades de completitud 63 Intervalos encajados 64 Pares de sucesiones monótonas convergentes 66 Ejemplo: el número e 67 Existencia de subsucesiones con limite 71 Límites de oscilación de las sucesiones 72 Caso de límite de oscilación único 76 Existencia del supremo y del ínfimo 77 Supremo e ínfimo de conjuntos no acotados 79 Límites superior e inferior 80 Sucesiones fundamentales. Condición de Cauchy 81 Sucesiones contractivas 85 Ejercicios y problemas 89 Enunciados 89 Soluciones 92 Capítulo 2. Límites y continuidad de funciones reales 96 2.1. Nociones generales sobre las funciones 96 Sobre el concepto de función 97 Sobre la función recíproca o inversa 99 Sobre las funciones reales de variable real 100 Sobre algunas funciones elementales 101 2.2. Límite de una función en un punto 107 Propiedades que se verifican cerca de un punto 108 Definiciones (equivalentes) de límite 109 Consecuencias de la definición de límite 115 Límites laterales 115 Límites de las funciones monótonas 117 Límites infinitos y límites en el infinito 118 Infinitésimos e infinitos 120 2.3. Cálculo y propiedades de los límites 121 Desigualdades entre funciones y límites 121 Propiedades aritméticas de los límites 124 Caso de indeterminación en el cálculo de límites 126 Ordenes de los infinitésimos y de los infinitos 127 Equivalencias entre infinitésimos y entre infinitos 129 2.4. Continuidad en un punto 131 Continuidad de una función en un punto 131 Primeras propiedades de la continuidad 135 Oscilación en un punto 135 Continuidad lateral 137 Operaciones aritméticas con funciones continuas 139 Continuidad de las funciones elementales 140 Composición de funciones continuas 142 2.5. Continuidad en un intervalo 144 Caracterizaciones de los intervalos 144 Continuidad en un intervalo 147 Teoremas del valor intermedio 148 La continuidad conserva los intervalos 152 Funciones monótonas continuas; función inversa 156 2.6. Continuidad uniforme 161 Concepto de continuidad uniforme 163 Continuidad uniforme en un compacto 166 Una condición suficiente para la continuidad uniforme 169 Ejercicios y problemas 170 Enunciados 170 Soluciones 174 Capítulo 3. Funciones derivables 178 3.1. Derivadas 179 Concepto de derivada 179 Derivabilidad implica continuidad 181 Recta tangente 183 Derivadas de la suma, del producto y del cociente 185 Derivada de una función compuesta (regla de la cadena) 187 Derivada de la función inversa 189 Derivadas de las funciones elementales 192 Derivadas sucesivas (de orden superior) 195 Diferenciabilidad en un punto; diferencial 203 3.2. Teoremas del valor medio207 Extremos relativos 208 Teorema de Rolle 209 Teorema de los incrementos finitos 211 Funciones monótonas derivables 217 Fórmula del valor medio de Cauchy 221 Regla de L'Hópital 224 3.3. Aproximación local de Taylor 231 Desarrollo limitado de Taylor 232 Desarrollos limitados deducidos de otros 241 Desarrollos limitados de algunas funciones elementales 244 Aplicación de los desarrollos limitados al cálculo de límites 249 Fórmula de Taylor (con resto de Lagrange) 251 Fórmula de Mac Laurin de algunas funciones elementales 256 Método de Newton para la resolución de ecuaciones 258 3.4. Estudio local de la gráfica de una función262 Monotonía y extremos relativos 263 Posición de una curva respecto de su tangente 265 Ramas infinitas; asíntotas 269 Ejercicios y problemas 273 Enunciados 273 Soluciones 276 Capítulo 4. Integrales282 4.1. Funciones integrables (Riemann) 283 Particiones de un intervalo compacto 283 Sumas inferiores y superiores 284 Integral inferior e integral superior 285 Funciones integrables. Integral 287 La integral como límite de sumas 292 Las monótonas y las continuas son funciones integrables 294 4.2. Propiedades de la integral 297 Criterio lineal de integrabilidad 297 Linealidad de la integral 299 Integrabilidad del producto y del cociente 301 Propiedad de monotonía de la integral 303 La integral del valor absoluto 305 Teorema de la media (integral) 306 Aditividad respecto del intervalo 308 43. El teorema fundamental del cálculo 310 Teorema fundamental del cálculo 310 Regla de Barrow 313 Integración por partes 316 Integración por sustitución (cambio de variable) 321 Forma integral del resto de la fórmula de Taylor 323 4.4. Búsqueda de primitivas 324 Primitivas e integral indefinida 325 Integrales inmediatas 326 Métodos generales de integración 329 Integración de las funciones racionales 335 Método de Hermite (para integrales racionales) 340 Integración de una función racional de seno y coseno 342 Integración de irracionales cuadráticos 348 Integrales binomias 352 4.5. La integral como límite de sumas 354 Caracterización e: delta tegrabilidad 355 La integral como límite de sumas de Darboux 357 Sumas de Riemann 359 Definición de integral utilizando sumas de Riemann 360 La integral como límite de sumas de Riemann 362 4.6. Integración numérica aproximada 365 Generalidades acerca de la integración aproximada 366 Regla de los trapecios 369 Fórmula de Simpson 372 4.7. Integrales impropias 376 Integrales sobre intervalos no compactos 377 Propiedades de las integrales impropias 380 Condición general de convergencia de Cauchy 384 Criterios de convergencia (caso de integrando positivo) 386 Criterios particulares de convergencia (integrando positivo) 390 Convergencia absoluta de integrales impropias 394 4.8. Aplicaciones geométricas de la integral 398 Cálculo de áreas 398 Cálculo de volúmenes (de revolución y otros) 403 Área de una superficie de revolución 407 Longitud de un arco de curva 410 Ejercicios y problemas 416 Enunciados 416 Soluciones 421 Capítulo 5. Series 428 5.1. Concepto de serie 429 Series de términos reales; carácter y suma 430 Dos series notables: geométricas y telescópicas 434 Criterio general de convergencia de Cauchy 437 Acerca de la asociatividad 441 5.2. Series de términos positivos; criterios de convergencia 443 Propiedades de las series de términos positivos 444 Criterios generales de comparación 448 Criterios particulares de comparación 451 Criterios automáticos de convergencia 454 Criterio de la integral 459 5.3. Series de términos positivos y negativos 461 Series alternadas 461 Convergencia absoluta 464 Reordenaciones; series condicionales e incondicionales 471 Criterios de Dirichlet y de Abel 476 5.4. Sumación de series 479 Algunas series sumables elementalmente 479 Cálculo aproximado de la suma de una serie 485 Método de la mayorante (para aproximar la suma de una serie) 487 Método de la integral (para aproximar la suma) 491 Suma aproximada de algunas series de términos cualesquiera 493 Algo acerca de cómo acelerar la convergencia 495 5.5. Series de potencias. Serie de Taylor 498 Series de potencias; radio de convergencia 500 Radios de convergencia de las series derivada y primitivas 504 Continuidad, derivada e integral de una serie de potencias 505 Unicidad del desarrollo en serie de potencias 510 Desarrollo de una función en serie de Taylor 512 Una condición suficiente para que exista desarrollo en serie 514 Desarrollos en serie de Taylor de funciones usuales 516 5.6. Sucesiones y series de funciones 521 Sucesiones y series de funciones: convergencia puntual 522 Convergencia uniforme 524 Caracterizaciones de la convergencia uniforme 528 Criterio de Weierstrass (para convergencia uniforme de series) 531 Criterios de Dirichlet y de Abel (convergencia uniforme de series) 533 Regularidad de la suma de una serie de potencias 547 Teoremas de Abel (para series de potencias) 548 Ejercicios y problemas 551 Enunciados 551 Soluciones 556 Apéndices 559 Apéndice 1. Los números complejos 559 El sistema de los números complejos 560 Unidad imaginaria y forma binómica 562 Conjugado de un número complejo 563 Módulo de un número complejo 564 Argumentos de los números complejos 567 Producto y potencia entera en forma módulo-argumental 568 Raíces de los números complejos 570 Exponencial compleja 572 Logaritmos y potencias complejas 573 Apéndice 2. Polinomios reales y complejos 575 Noción de polinomio; definiciones 575 Algebra de polinomios 576 División entera de polinomios 579 Máximo común divisor y mínimo común múltiplo 581 Raíces de los polinomios 585 Función polinómica asociada a un polinomio 586 Factorización canónica de un polinomio 589 Apéndice 3. Fracciones racionales 593 El cuerpo de las fracciones racionales 593 Fracciones propias e impropias. Parte entera 595 Funciones racionales 596 Descomposición en fracciones simples (caso complejo) 598 Descomposición en fracciones simples (caso real) 601 Alfabeto griego 605 Referencias bibliográficas 607 Indice 609
650			_aCALCULO INFINITESIMAL
650			_aSUCESIONES REALES
650			_aLIMITES
650			_aLIMITES DE SUCESIONES
650			_aFUNCIONES REALES
650			_aFUNCIONES DERIVABLES
650			_aDERIVADAS
650			_aTEORIA DEL VALOR MEDIO
650			_aAPROXIMACION LOCAL DE TAYLOR
650			_aINTEGRALES PRIMITIVAS
650			_aSERIES
650			_aINTEGRALES IMPROPIAS
650			_aSUMACION DE SERIES
650			_aSERIES DE POTENCIA
650			_aSERIE DE TAYLOR
650			_aSUCESIONES-SERIES
650			_aSERIES DE FUNCIONES
650			_aNUMEROS COMPLEJOS
650			_aPOLINOMIOS REALES
650			_aPOLINOMIOS COMPLEJOS
650			_aFRACCIONES RACIONALES
942			_cBK _2udc
999			_c12719 _d12719