Geometría diferencial de curvas y superficies con Mathematica / Luis A. Cordero, Marisa Fernández, Alfred Gray.

CONTENIDO
1. Curvas en el Plano 23
1.1 Espacios euclídeos 24
1.2 Curvas en Rn 26
1.3 Longitud de una curva 29
1.4 Campos de vectores a lo largo de curvas 32
1.5 Curvatura de una curva plana 34
1.6 El ángulo de giro 37
1.7 La parábola semicúbica 38
1.8 Ejercicios 39
2. Estudio de Curvas en el Plano con Matemática 41
2.1 Cálculo de la curvatura de una curva en el plano 44
2.2 Cálculo de longitudes de curvas 48
2.3 Relleno de curvas 50
2.4 Ejemplos de curvas en R2 51
2.5 Trazado de curvas definidas a trozos 56
2.6 Ejercicios 59
3. Curvas Planas Famosas 63
3.1 Cicloides 63
3.2 Lemniscatas de Bernoulli 65
3.3 Cardioides 67
3.4 La cisoide de Diocles 69
3.5 La tractriz 73
3.6 Clotoides 77
3.7 Ejercicios 79
4. Métodos Alternativos para el Trazado de Curvas Planas 83
4.1 Curvas en R2 definidas implícitamente 84
4.2 Ovalos de Cassini 89
4.3 Curvas planas en coordenadas polares 93
4.4 Ejercicios 98
5. Curvas Definidas a Partir de Otras 101
5.1 Evolutas 102
5.2 Evolutas iteradas 105
5.3 La evoluta de una tractriz es una catenaria 106
5.4 Evolventes 107
5.5 Rectas tangentes y rectas normales a curvas planas 112
5.6 Circunferencias osculatrices de curvas planas 116
5.7 Curvas paralelas 121
5.8 Curvas podarias 123
5.9 Ejercicios 126
6. Determinación de una Curva Plana por su Curvatura 131
6.1 Movimientos euclídeos 132
6.2 Curvas y movimientos euclídeos 136
6.3 Ecuación intrínseca de una curva plana 137
6.4 Representación gráfica de curvas con curvatura prefijada 142
6.5 Ejercicios 148
7. Curvas en el Espacio 151
7.1 Preliminares 152
7.2 Curvatura y torsión de curvas en R3 con velocidad unitaria 153
7.3 Curvatura y torsión de curvas en R3 con velocidad arbitraria 157
7.4 Cálculo de la curvatura y la torsión con Mathematica 162
7.5 La hélice circular y sus generalizaciones 166
7.6 La curva de Viviani 169
7.7 El teorema fundamental de curvas en el espacio 171
7.8 Representación gráfica de curvas en el espacio con curvatura y torsión prefijadas 174
7.9 Ejercicios 177
8. Tubos y Nudos 181
8.1 Tubos alrededor de curvas 181
8.2 Nudos toroidales 183
8.3 Ejercicios 189
9. Cálculo en Espacios Euclídeos 191
9.1 Vectores tangentes a Rn 192
9.2 Vectores tangentes como derivadas direccionales 194
9.3 Aplicaciones tangentes 196
9.4 Campos de vectores sobre Rn 200
9.5 Derivadas de campos de vectores sobre Rn 204
9.6 Revisión de curvas 210
9.7 Ejercicios 211
10. Superficies en el Espacio Euclídeo 213
10.1 Superficies parametrizadas en Rn 213
10.2 Superficies parametrizadas en R3 222
10.3 La aplicación local de Gauss 224
10.4 Definición de superficie regular en Rn 225
10.5 Vectores tangentes a superficies regulares en Rn 232
10.6 Aplicaciones entre superficies 234
10.7 Superficies de nivel en R3 236
10.8 Ejercicios 239
11. Ejemplos de Superficies 241
11.1 El grafo de una función de dos variables 243
11.2 El elipsoide 247
11.3 El elipsoide estereográfico 248
11.4 Toros 250
11.5 El paraboloide 253
11.6 Caracolas marinas 255
11.7 Superficies parametrizadas con singularidades 256
11.8 Representación gráfica de superficies en forma implícita 257
11.9 Ejercicios 258
12. Superficies No Orientables 261
12.1 Orientabilidad de superficies 261
12.2 Superficies no orientables descritas por identificaciones 267
12.3 La banda de Mobius 269
12.4 La botella de Klein 271
12.5 Realizaciones del plano proyectivo real 273
12.6 Coloreado de superficies con Mathematica 277
12.7 Ejercicios 279
13. Métricas sobre Superficies 283
13.1 La idea intuitiva de distancia sobre una superficie 283
13.2 Isometrías entre superficies 287
13.3 La idea intuitiva de área de una superficie 291
13.4 Un miniprograma para el cálculo de métricas y áreas sobre una superficie 293
13.5 Ejemplos de métricas 294
13.6 Ejercicios 296
14. Superficies en el Espacio de Dimensión 3 299
14.1 El operador forma 300
14.2 Curvatura normal 303
14.3 Cálculo del operador forma 307
14.4 Los autovalores del operador forma 311
14.5 Curvatura de Gauss y curvatura media 313
14.6 Las tres formas fundamentales 320
14.7 Ejemplos de cálculo manual de curvaturas 322
14.8 Curvatura de superficies definidas implícitamente 326
14.9 Ejercicios 333
15. Superficies en el Espacio de Dimensión 3 vía Matemática 335
15.1 Miniprogramas para el cálculo del operador forma y de las curvaturas 336
15.2 Ejemplos del cálculo de las curvaturas con Mathematica 339
15.3 Las curvaturas principales vía Mathematica 346
15.4 La aplicación de Gauss vía Mathematica 347
15.5 Ejercicios 354
16. Curvas Asintóticas sobre Superficies 355
16.1 Curvas asintóticas 356
16.2 Ejemplos de curvas asintóticas 360
16.3 Uso de Mathematica en la determinación de curvas asintóticas 364
16.4 Ejercicios 368
17. Superficies Regladas 371
17.1 Ejemplos de superficies regladas 372
17.2 Superficies regladas llanas 379
17.3 Superficies regladas no cilíndricas 383
17.4 Ejemplos de líneas de estricción de superficies regladas no cilíndricas 387
17.5 Un miniprograma para superficies regladas 388
17.6 Otros ejemplos de superficies regladas 391
17.7 Ejercicios 393
18. Superficies de Revolución 395
18.1 Líneas de curvatura 397
18.2 Curvaturas de una superficie de revolución 399
18.3 Determinación de una superficie con Mathematica 403
18.4 El catenoide 405
18.5 El hiperboloide de revolución 408
18.6 Superficies de revolución de curvas con curvatura prefijada 409
18.7 Superficies de revolución generadas a partir de puntos 411
18.8 Ejercicios 414
19. Superficies con Curvatura de Gauss Constante 417
19.1 La integral elíptica de segunda especie 418
19.2 Superficies de revolución con curvatura constante positiva 418
19.3 Superficies de revolución con curvatura constante negativa 422
19.4 La superficie de Kuen 426
19.5 Ejercicios 428
20. Geometría Intrínseca de Superficies 431
20.1 Fórmulas intrínsecas para la curvatura de Gauss 432
20.2 Teorema egregium de Gauss 437
20.3 Símbolos de Christoffel 439
20.4 Ecuaciones de Mainardi-Codazzi 443
20.5 Curvatura geodésica 445
20.6 Ejercicios 450
21. Líneas de Curvatura y Puntos Umbílicos 453
21.1 Ecuación diferencial de las líneas de curvatura 454
21.2 Puntos umbílicos 457
21.3 Sistemas triples ortogonales de superficies 461
21.4 Coordenadas elípticas 468
21.5 Coordenadas parabólicas 476
21.6 Ejercicios 479
22. Superficies Minimales I 481
22.1 Variación normal 481
22.2 Ejemplos de superficies minimales 485
22.3 La aplicación de Gauss de una superficie minimal 495
22.4 Ejercicios 497
23. Superficies Minimales II 501
23.1 Coordenadas isotermas 502
23.2 Elementos de álgebra y análisis complejos 503
23.3 Derivadas complejas y curvas minimales 508
23.4 Determinación de superficies minimales conjugadas 516
23.5 Superficie de Enneper de grado n 523
23.6 Ejercicios 528
24. Superficies Minimales III 531
24.1 La representación de Weierstrass 531
24.2 Parametrizaciones locales de Weierstrass vía Mathematica 535
24.3 Ejemplos de parametrizaciones locales de Weierstrass 536
24.4 Superficies minimales con un final plano 539
24.5 Ejercicios 542
25. Construcción de Superficies 545
25.1 Superficies paralelas 545
25.2 El operador forma de una superficie paralela 549
25.3 Superficies podarias 552
25.4 Helicoides generalizados 554
25.5 Superficies por torsión 561
25.6 Ejercicios 564
26. Variedades Diferenciables 565
26.1 Definición de variedad diferenciable 566
26.2 Funciones diferenciables sobre variedades díferenciables 571
26.3 Vectores tangentes a variedades diferenciables 577
26.4 Aplicaciones inducidas 586
26.5 Campos de vectores sobre variedades diferenciables 592
26.6 Campos de tensores sobre variedades diferenciables 597
26.7 Ejercicios 600
27. Variedades de Riemann 603
27.1 Derivadas covariantes 604
27.2 Métricas de Riemann indefinidas 610
27.3 Tratamiento clásico de las métricas 614
28. Superficies Abstractas 619
28.1 Métricas sobre superficies abstractas 620
28.2 Ejemplos de superficies abstractas 623
28.3 Cálculo de la curvatura de métricas sobre superficies abstractas 625
28.4 Orientabilidad de una superficie abstracta 628
28.5 Curvatura geodésica en las superficies abstractas 629
28.6 Ejercicios 630
29. Geodésicas en Superficies 633
29.1 Las ecuaciones geodésicas 633
29.2 Parametrizaciones de Clairaut 636
29.3 Ejemplos de parametrizaciones de Clairaut 640
29.4 Determinación númerica de las geodésicas con Mathematica 642
29.5 Ejercicios 646
30. Superficies Minimales IV 647
30.1 Fórmula de Bjorling 647
30.2 Determinación de superficies minimales a partir de curvas planas 650
30.3 Ejemplos de superficies minimales construidas a partir de curvas planas 652
30.4 Ejercicios 658
Apéndices
A Programas generales 659
B Curvas planas 707
C Curvas planas definidas implícitamente 721
D Curvas planas en coordenadas polares 727
E Curvas en el espacio 731
F Superficies 735
G Superficies definidas en forma implícita 759
H Representación gráfica de membranas 763
I Curvas minimales 765
J Métricas 773
K Programas para la realización de representaciones gráficas 777
L Mathematica y Acrospin 783
Bibliografía 789
Indice Terminológico 805