TY - BOOK AU - Apostol,Tom M. TI - Cálculus. SN - 9686708111 PY - 2001/// CY - México PB - Reverté KW - ESPACIOS LINEALES KW - TRANSFORMACIONES LINEALES KW - MATRICES KW - DETERMINANTES KW - AUTOVALORES KW - ESPACIOS EUCLIDEOS KW - AUTOVECTORES KW - ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES KW - SISTEMAS ECUACIONES DIFERENCIALES KW - ECUACIONES DIFERENCIALES KW - ANALISIS NO LINEAL KW - CALCULO DIFERENCIAL KW - CAMPOS ESCALARES KW - CAMPOS VECTORIALES KW - INTEGRALES LINEALES KW - INTEGRALES MULTIPLES KW - INTEGRALES DE SUPERFICIE KW - PROBABILIDAD KW - ANALISIS NUMERICO N1 - Traducción de: Calculus, Multi-variable calculus and linear algebra, with applications to differential equations and probability; CONTENIDO Parte 1. Análisis lineal 1. ESPACIOS LINEALES 1.1 Introducción 1.2 Definición de espacio lineal 1.3 Ejemplos de espacios lineales 1.4 Consecuencias elementales de los axiomas 1.5 Ejercicios 1.6 Subespacios de un espacio lineal 1.7 Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal 1.8 Bases y dimensión 1.9 Componentes 1.10 Ejercicios 1.11 Productos interiores, espacios euclídeos. Normas 1.12 Ortogonalidad en un espacio euclídeo 1.13 Ejercicios 1.14 Construcción de conjuntos ortogonales. Método de Gram-Schmidt 1.15 Complementos ortogonales. Proyecciones 1.16 Aproximación óptima de elementos de un espacio euclídeo por elementos de un subespacio de dimensión finita 1.17 Ejercicios 2. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES 2.1 Transformaciones lineales 2.2 Núcleo y recorrido 2.3 Dimensión del núcleo y rango de la transformación 2.4 Ejercicios 2.5 Operaciones algebraicas con transformaciones lineales 2.6 Inversas 2.7 Transformaciones lineales uno a uno 2.8 Ejercicios 2.9 Transformaciones lineales con valores asignados 2.10 Representación matricial de las transformaciones lineales 2.11 Construcción de una representación matricial en forma diagonal 2.12 Ejercicios 2.13 Espacios lineales de matrices 2.14 Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices 2.15 Multiplicación de matrices 2.16 Ejercicios 2.17 Sistemas de ecuaciones lineales 2.18 Técnicas de cálculo 2.19 Inversas de matrices cuadradas 2.20 Ejercicios 2.21 Ejercicios varios sobre matrices 3. DETERMINANTES 3.1 Introducción 3.2 Justificación de la elección de los axiomas para una función determinante 3.3 Conjunto de axiomas que definen una función determinante 3.4 Cálculo de determinantes 3.5 El teorema de unicidad 3.6 Ejercicios 3.7 Producto de determinantes 3.8 Determinante de la matriz inversa de una matriz no singular 3.9 Determinantes e independencia de vectores 3.10 Determinante de una matriz diagonal en bloques 3.11 Ejercicios 3.12 Fórmulas para desarrollar determinantes. Menores y cofactores 3.13 Existencia de la función determinante 3.14 Determinante de una matriz transpuesta 3.15 La matriz cofactor 3.16 Regla de Cramer 3.17 Ejercicios 4. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES 4.1 Transformaciones lineales representadas mediante matrices diagonales 4.2 Autovectores y autovalores de una transformación lineal 4.3 Independencia lineal de autovectores correspondientes a autovalores distintos 4.4 Ejercicios 4.5 Caso de dimensión finita. Polinomios característicos 4.6 Cálculo de autovalores y autovectores en el caso de dimensión finita 4.7 Traza de una matriz 4.8 Ejercicios 4.9 Matrices que representan la misma transformación lineal. Matrices lineales 4.10 Ejercicios 5. AUTO-VALORES DE OPERADORES EN ESPACIOS EUCLIDEOS 5.1 Autovalores y productos interiores o escalares 5.2 Transformaciones hermitianas y hemi-hermitianas 5.3 Autovalores y autovectores de los operadores hermitianos y hemi-hermitianos 5.4 Ortogonalidad de los autovectores correspondientes a autovalores distintos 5.5 Ejercicios 5.6 Existencia de un conjunto ortonormal de autovectores para operadores hermitianos y hemi-hermitianos que actúan en espacios de dimensión finita 5.7 Representación matricial para operadores hermitianos y hemi-hermitianos 5.8 Matrices hermitianas y hemi-hermitianas. Matriz adjunta de una matriz 5.9 Diagonalización de una matriz hermitiana o hemi-hermitiana 5.10 Matrices unitarias. Matrices ortogonales 5.11 Ejercicios 5.12 Formas cuadráticas 5.13 Reducción de una forma cuadrática real a forma diagonal 5.14 Aplicaciones a la Geometría Analítica 5.15 Ejercicios 5.16 Autovalores de una transformación simétrica obtenidos como valores de su forma cuadrática 5.17 Propiedades relativas a extremos de los autovalores de una transformación simétrica 5.18 Caso de dimensión finita 5.19 Transformaciones unitarias 5.20 Ejercicios 6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES 6.1 Introducción histórica 6.2 Revisión de los resultados relativos a las ecuaciones de primer y segundo orden 6.3 Ejercicios 6.4 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n 6.5 Teorema de existencia y unicidad 6.6 Dimensión del espacio solución de una ecuación lineal homogénea 6.7 Álgebra de operadores de coeficientes constantes 6.8 Determinación de una base de soluciones para ecuaciones lineales con coeficientes constantes por factorización de operadores 6.9 Ejercicios 6.10 Relación entre las ecuaciones homogéneas y no homogéneas 6.11 Determinación de una solución particular de la ecuación no homogénea. Método de variación de constantes 6.12 No singularidad de la matriz wronskiana de n soluciones independientes de una ecuación lineal homogénea 6.13 Métodos especiales para determinar una solución particular de la ecuación no homogénea. Reducción a un sistema de ecuaciones lineales de primer orden 6.14 Método del anulador para determinar una solución particular de la ecuación no homogénea 6.15 Ejercicios 6.16 Ejercicios varios sobre ecuaciones diferenciales lineales 6.17 Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes analíticos 6.18 La ecuación de Legendre 6.19 Polinomios de Legendre 6.20 Fórmula de Rodríguez para los polinomios de Legendre 6.21 Ejercicios 6.22 Método de Frobenius 6.23 Ecuación de Bessel 6.24 Ejercicios 7. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 7.1 Introducción 7.2 Cálculo con funciones matriciales 7.3 Series de matrices. Normas de matrices 7.4 Ejercicios 7.5 Exponencial de una matriz 7.6 Ecuación diferencial que se satisface por e(tA) 7.7 Teorema de unicidad para la ecuación diferencial matricial F'(t) 7.8 Ley de exponentes para exponenciales de matrices 7.9 Teoremas de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes 7.10 El problema de calcular e(tA) 7.11 Teorema de Cayley-Hamilton 7.12 Ejercicios 7.13 Método de Putzer para calcular e(tA) 7.14 Otros métodos para calcular e(tA) en casos especiales 7.15 Ejercicios 7.16 Sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes 7.17 Ejercicios 7.18 Sistema lineal general Y'(t) 7.19 Resolución de sistemas lineales homogéneos mediante series de potencias 7.20 Ejercicios 7.21 Demostración del teorema de existencia por el método de las aproximaciones sucesivas 7.22 Aplicación del método de aproximaciones sucesivas a los sistemas no lineales de primer orden 7.23 Demostración de un teorema de existencia y unicidad para sistemas no lineales de primer orden 7.24 Ejercicios 7.25 Aproximaciones sucesivas y puntos fijos de operadores 7.26 Espacios lineales normados 7.27 Operadores de contracción 7.28 Teorema del punto fijo para operadores de contracción 7.29 Aplicaciones del teorema del punto fijo Parte 2. Análisis no lineal 8. CALCULO DIFERENCIAL EN CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES 8.1 Funciones de Rn en Rm. Campos escalares y vectoriales 8.2 Bolas abiertas y conjuntos abiertos 8.3 Ejercicios 8.4 Límites y continuidad 8.5 Ejercicios 8.6 La derivada de un campo escalar respecto a un vector 8.7 Derivadas direccionales y derivadas parciales 8.8 Derivadas parciales de orden superior 8.9 Ejercicios 8.10 Derivadas direccionales y continuidad 8.11 La diferencial 8.12 Gradiente de un campo escalar 8.13 Condición suficiente de diferenciabilidad 8.14 Ejercicios 8.15 Regla de la cadena para derivadas de campos escalares 8.16 Aplicaciones geométricas. Conjuntos de nivel. Planos tangentes 8.17 Ejercicios 8.18 Diferenciales de campos vectoriales 8.19 La diferenciabilidad implica la continuidad 8.20 La regla de la cadena para diferenciales de campos vectoriales 8.21 Forma matricial de la regla de la cadena 8.22 Ejercicios 8.23 Condiciones suficientes para la igualdad de las derivadas parciales mixtas 8.24 Ejercicios varios 9. APLICACIONES DE CALCULO DIFERENCIAL 9.1 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales 9.2 Ecuación en derivadas parciales de primer orden con coeficientes constantes 9.3 Ejercicios 9.4 La ecuación de ondas uni-dimensional 9.5 Ejercicios 9.6 Derivación de funciones definidas implícitamente 9.7 Ejemplos resueltos 9.8 Ejercicios 9.9 Máximos, mínimos y puntos de ensilladura 9.10 Fórmula de Taylor de segundo orden para campos escalares 9.11 Determinación de la naturaleza de un punto estacionario por medio de los autovalores de la matriz hessiana 9.12 Criterio de las derivadas segundas para determinar extremos de funciones de dos variables 9.13 Ejercicios 9.14 Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange 9.15 Ejercicios 9.16 Teorema del valor extremo para campos escalares continuos 9.17 Teorema de la continuidad uniforme para campos escalares continuos 10. INTEGRALES DE LINEA 10.1 Introducción 10.2 Caminos e integrales de línea 10.3 Otras notaciones para las integrales de línea 10.4 Propiedades fundamentales de las integrales de línea 10.5 Ejercicios 10.6 El concepto de trabajo como integral de línea 10.7 Integrales de línea con respecto a la longitud de arco 10.8 Otras aplicaciones de las integrales de línea 10.9 Ejercicios 10.10 Conjuntos conexos abiertos. Independientes del camino 10.11 Segundo teorema fundamental del cálculo para integrales de línea 10.12 Aplicaciones a la Mecánica 10.13 Ejercicios 10.14 El primer teorema fundamental del cálculo para integrales de línea 10.15 Condiciones necesarias y suficientes para que un campo vectorial sea un gradiente 10.16 Condiciones necesarias para que un campo vectorial sea un gradiente 10.17 Métodos especiales para construir funciones potenciales 10.18 Ejercicios 10.19 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales exactas de primer orden 10.20 Ejercicios 10.21 Funciones de potencial en conjuntos convexos 11. INTEGRALES MULTIPLES 11.1 Introducción 11.2 Particiones de rectángulos. Funciones escalonadas 11.3 Integral doble de una función escalonada 11.4 Definición de integral doble de una función definida y acotada en un rectángulo 11.5 Integrales dobles superior e inferior 11.6 Cálculo de una integral doble por integración uni-dimensional reiterada 11.7 Interpretación geométrica de la integral doble como un volumen 11.8 Ejemplos resueltos 11.9 Ejercicios 11.10 Integrabilidad de funciones continuas 11.11 Integrabilidad de funciones acotadas con discontinuidades 11.12 Integrales dobles extendidas a regiones más generales 11.13 Aplicaciones a áreas y volúmenes 11.14 Ejemplos resueltos 11.15 Ejercicios 11.16 Otras aplicaciones de las integrales dobles 11.17 Dos teoremas de Pappus 11.18 Ejercicios 11.19 Teorema de Green en el plano 11.20 Algunas aplicaciones del teorema de Green 11.21 Condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial bi-dimensional sea un gradiente 11.22 Ejercicios 11.23 Teorema de Green para regiones múltiplemente conexas 11.24 El número de giros 11.25 Ejercicios 11.26 Cambio de variables en una integral doble 11.27 Casos particulares de la fórmula de transformación 11.28 Ejercicios 11.29 Demostración de la fórmula de transformación en un caso particular 11.30 Demostración de la fórmula de transformación en el caso general 11.31 Extensiones a un número mayor de dimensiones 11.32 Cambio de variables en una integral n-múltiple 11.33 Ejemplos resueltos 11.34 Ejercicios 12. INTEGRALES DE SUPERFICIE 12.1 Representación paramétrica de una superficie 12.2 Producto vectorial fundamental 12.3 El producto vectorial fundamental, considerado como una normal a la superficie 12.4 Ejercicios 12.5 Área de una superficie paramétrica 12.6 Ejercicios 12.7 Integrales de superficie 12.8 Cambio de representación paramétrica 12.9 Otras notaciones para las integrales de superficie 12.10 Ejercicios 12.11 Teorema de Stokes 12.12 El rotacional y la divergencia de un campo vectorial 12.13 Ejercicios 12.14 Otras propiedades del rotacional y de la divergencia 12.15 Ejercicios 12.16 Reconstrucción de un campo vectorial a partir de su rotacional 12.17 Ejercicios 12.18 Extensiones del teorema de Stokes 12.19 Teorema de la divergencia (teorema de Gauss) 12.20 Aplicaciones del teorema de la divergencia 12.21 Ejercicios Parte 3. Temas especiales 13. FUNCIONES DE CONJUNTO Y PROBABILIDAD ELEMENTAL 13.1 Introducción histórica 13.2 Funciones de conjunto con aditividad finita 13.3 Medidas con aditividad finita 13.4 Ejercicios 13.5 Definición de probabilidad para espacios muestrales finitos 13.6 Terminología propia del cálculo de probabilidades 13.7 Ejercicios 13.8 Ejemplos resueltos 13.9 Ejercicios 13.10 Algunos principios básicos de análisis combinatorio 13.11 Ejercicios 13.12 Probabilidades condicionadas 13.13 Independencia 13.14 Ejercicios 13.15 Experimentos o pruebas compuestas 13.16 Pruebas de Bernoulli 13.17 Número más probable de éxitos en n pruebas de Bernoulli 13.18 Ejercicios 13.19 Conjuntos numerables y no numerables 13.20 Ejercicios 13.21 Definición de probabilidad para espacios muestrales infinitos numerables 13.22 Ejercicios 13.23 Ejercicios variados sobre probabilidades 14. CALCULO DE PROBABILIDADES 14.1 Definición de probabilidad para espacios muestrales no numerables 14.2 Numerabilidad del conjunto de puntos con probabilidad positiva 14.3 Variables aleatorias 14.4 Ejercicios 14.5 Funciones de distribución 14.6 Discontinuidad de las funciones de distribución 14.7 Distribuciones discretas. Funciones de masa de probabilidad 14.8 Ejercicios 14.9 Distribuciones continuas. Funciones de densidad 14.10 Distribución uniforme sobre un intervalo 14.11 Distribución de Cauchy 14.12 Ejercicios 14.13 Distribuciones exponenciales 14.14 Distribuciones normales 14.15 Observaciones sobre distribuciones más generales 14.16 Ejercicios 14.17 Distribuciones de funciones de variables aleatorias 14.18 Ejercicios 14.19 Distribución de variables aleatorias bidimensionales 14.20 Distribuciones discretas bidimensionales 14.21 Distribuciones continuas bidimensionales. Funciones de densidad 14.22 Ejercicios 14.23 Distribuciones de funciones de dos variables aleatorias 14.24 Ejercicios 14.25 Esperanza y varianza 14.26 Esperanza de una función de una variable aleatoria 14.27 Ejercicios 14.28 Desigualdad de Chebyshev 14.29 Leyes de los grandes números 14.30 El teorema central del límite 14.31 Ejercicios Referencias citadas 15. INTRODUCCION AL ANALISIS NUMERICO 15.1 Introducción histórica 15.2 Aproximaciones por polinomios 15.3 Aproximaciones polínómicas y espacios lineales normados 15.4 Problemas fundamentales en la aproximación por polinomios 15.5 Ejercicios 15.6 Polinomios de interpolación 15.7 Puntos de interpolación igualmente separados 15.8 Análisis del error de la interpolación por polinomios 15.9 Ejercicios 15.10 Fórmula de interpolación de Newton 15.11 Puntos de interpolación igualmente separados. El operador de las diferencias sucesivas 15.12 Polinomios factoriales 15.13 Ejercicios 15.14 Problema de mínimo relativo a la norma del máximo 15.15 Polinomios de Chebyshev 15.16 Propiedad de mínimo de los polinomios de Chebyshev 15.17 Aplicación a la fórmula del error en la interpolación 15.18 Ejercicios 15.19 Integración aproximada. Regla de los trapecios 15.20 Regla de Simpson 15.21 Ejercicios 15.22 Fórmula de sumación de Euler 15.23 Ejercicios Referencias citadas Soluciones a los ejercicios Indice ER -