Calculus, volumen 1 : Cálculo con funciones de una variable, con una introducción al álgebra lineal /
Tom M. Apostol.
- 2da.
- México : Reverté, 1999.
- 813 p.
Traducción de: Calculus, one-variable calculus, with an introduction to linear algebra
CONTENIDO 1. INTRODUCCION Parte 1. Introducción histórica I 1.1 Los dos conceptos básicos del Cálculo I 1.2 Introducción histórica I 1.3 El método de exhaución para el área de un segmento de parábola I 1.4 Ejercicios I 1.5 Análisis crítico del método de Arquímedes I 1.6 La introducción al Cálculo que se utiliza en este libro Parte 2. Conceptos básicos de la teoría de conjuntos I 2.1 Introducción a la teoría de conjuntos I 2.2 Notaciones para designar conjuntos I 2.3 Subconjuntos I 2.4 Reuniones, intersecciones, complementos I 2.5 Ejercicios Parte 3. Un conjunto de axiomas para el sistema de números reales I 3.1 Introducción I 3.2 Axiomas de cuerpo I 3.3 Ejercicios I 3.4 Axiomas de orden I 3.5 Ejercicios I 3.6 Números enteros y racionales I 3.7 Interpretación geométrica de los números reales como puntos de una recta I 3.8 Cota superior de un conjunto, elemento máximo, extremo superior I 3.9 Axioma del extremo superior (axioma de completitud) I 3.10 La propiedad arquimediana del sistema de los números reales I 3.11 Propiedades fundamentales del extremo superior I 3.12 Ejercicios I 3.13 Existencia de raíces cuadradas de los números reales no negativos I 3.14 Raíces de orden superior. Potencias racionales I 3.15 Representación de los números reales por medio de decimales Parte 4. Inducción matemática, símbolos sumatorios y cuestiones relacionadas I 4.1 Ejemplo de demostración por inducción matemática I 4.2 El principio de la inducción matemática I 4.3 El principio de buena ordenación I 4.4 Ejercicios I 4.5 Demostración del principio de buena ordenación I 4.6 El símbolo sumatorio I 4.7 Ejercicios I 4.8 Valor absoluto y desigualdad triangular I 4.9 Ejercicios I 4.10 Ejercicios varios referentes al método de inducción 1. LOS CONCEPTOS DEL CALCULO INTEGRAL 1.1 Las ideas básicas de la Geometría cartesiana 1.2 Funciones. Ideas generales y ejemplos 1.3 Funciones. Definición formal como conjunto de pares ordenados 1.4 Más ejemplos de funciones reales 1.5 Ejercicios 1.6 El concepto de área como función de conjunto 1.7 Ejercicios 1.8 Intervalos y conjuntos de ordenadas 1.9 Particiones y funciones escalonadas 1.10 Suma y producto de funciones escalonadas 1.11 Ejercicios 1.12 Definición de integral para funciones escalonadas 1.13 Propiedades de la integral de una función escalonada 1.14 Otras notaciones para las integrales 1.15 Ejercicios 1.16 La integral de funciones más generales 1.17 Integrales superior e inferior 1.18 El área de un conjunto de ordenadas expresada como una integral 1.19 Observaciones relativas a la teoría y técnica de la integración 1.20 Funciones monótonas y monótonas a trozos. Definiciones y ejemplos 1.21 Integrabilidad de funciones monótonas acotadas 1.22 Cálculo de la integral de una función monótona acotada 1.23 Cálculo de la integral 1.24 Propiedades fundamentales de la integral 1.25 Integración de polinomios 1.26 Ejercicios 1.27 Demostraciones de las propiedades fundamentales de la integral 2. ALGUNAS APLICACIONES DE LA INTEGRACION 2.1 Introducción 2.2 El área de una región comprendida entre dos gráficas expresada como una integral 2.3 Ejemplos resueltos 2.4 Ejercicios 2.5 Las funciones trigonométricas 2.6 Fórmulas de integración para el seno y el coseno 2.7 Descripción geométrica de las funciones seno y coseno 2.8 Ejercicios 2.9 Coordenadas polares 2.10 La integral para el área en coordenadas polares 2.11 Ejercicios 2.12 Aplicación de la integración al cálculo de volúmenes 2.13 Ejercicios 2.14 Aplicación de la integración al concepto de trabajo 2.15 Ejercicios 2.16 Valor medio de una función 2.17 Ejercicios 2.18 La integral como función del límite superior. Integrales indefinidas 2.19 Ejercicios 3. FUNCIONES CONTINUAS 3.1 Idea intuitiva de continuidad 3.2 Definición de límite de una función 3.3 Definición de continuidad de una función 3.4 Teoremas fundamentales sobre límites. Otros ejemplos de funciones continuas 3.5 Demostraciones de los teoremas fundamentales sobre límites 3.6 Ejercicios 3.7 Funciones compuestas y continuidad 3.8 Ejercicios 3.9 Teorema de Bolzano para las funciones continuas 3.10 Teorema del valor intermedio para funciones continuas 3.11 Ejercicios 3.12 El proceso de inversión 3.13 Propiedades de las funciones que se conservan por la inversión 3.14 Inversas de funciones monótonas a trozos 3.15 Ejercicios 3.16 Teorema de los valores extremos para funciones continuas 3.17 Teorema de la continuidad uniforme 3.18 Teorema de integrabilidad para funciones continuas 3.19 Teoremas del valor medio para funciones continuas 3.20 Ejercicios 4. CALCULO DIFERENCIAL 4.1 Introducción histórica 4.2 Un problema relativo a velocidad 4.3 Derivada de una función 4.4 Ejemplos de derivadas 4.5 Algebra de las derivadas 4.6 Ejercicios 4.7 Interpretación geométrica de la derivada como una pendiente 4.8 Otras notaciones para las derivadas 4.9 Ejercicios 4.10 Regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas 4.11 Aplicaciones de la regla de la cadena. Coeficientes de variación ligados y derivación implícita 4.12 Ejercicios 4.13 Aplicaciones de la derivación a la determinación de los extremos de las funciones 4.14 Teorema del valor medio para derivadas 4.15 Ejercicios 4.16 Aplicaciones del teorema del valor medio a propiedades geométricas de las funciones 4.17 Criterio de la derivada segunda para los extremos 4.18 Trazado de curvas 4.19 Ejercicios 4.20 Ejemplos resueltos de problemas de extremos 4.21 Ejercicios 4.22 Derivadas parciales 4.23 Ejercicios 5. RELACION ENTRE INTEGRACION Y DERIVACION 5.1 La derivada de una integral indefinida. Primer teorema fundamental del cálculo 5.2 Teorema de la derivada nula 5.3 Funciones primitivas y segundo teorema fundamental del cálculo 5.4 Propiedades de una función deducidas de propiedades de su derivada 5.5 Ejercicios 5.6 La notación de Leibniz para las primitivas 5.7 Integración por sustitución 5.8 Ejercicios 5.9 Integración por partes 5.10 Ejercicios 5.11 Ejercicios de repaso 6. FUNCION LOGARITMO, FUNCION EXPONENCIAL Y FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS 6.1 Introducción 6.2 Definición del logaritmo natural como integral 6.3 Definición de logaritmo. Propiedades fundamentales 6.4 Gráfica del logaritmo natural 6.5 Consecuencias de la ecuación funcional L(ab) 6.6 Logaritmos referidos a una base positiva b distinto de 1 6.7 Fórmulas de derivación e integración en las que intervienen logaritmos 6.8 Derivación logarítmica 6.9 Ejercicios 6.10 Polinomios de aproximación para el logaritmo 6.11 Ejercicios 6.12 La función exponencial 6.13 Exponenciales expresadas como potencias de e 6.14 Definición de e a la x para x real cualquiera 6.15 Definición de a menor a la x para a mayor que 0 Y x real 6.16 Fórmulas de derivación e integración en las que intervienen exponenciales 6.17 Ejercicios 6.18 Funciones hiperbólicas 6.19 Ejercicios 6.20 Derivadas de funciones inversas 6.21 Inversas de las funciones trigonométricas 6.22 Ejercicios 6.23 Integración por fracciones simples 6.24 Integrales que pueden transformarse en integrales de funciones racionales 6.25 Ejercicios 6.26 Ejercicios de repaso 7. APROXIMACION DE FUNCIONES POR POLINOMIOS 7.1 Introducción 7.2 Polinomios de Taylor engendrados por una función 7.3 Cálculo con polinomios de Taylor 7.4 Ejercicios 7.5 Fórmula de Taylor con resto 7.6 Estimación del error en la fórmula de Taylor 7.7 Otras formas de la fórmula de Taylor con resto 7.8 Ejercicios 7.9 Otras observaciones sobre el error en la fórmula de Taylor. La notación o 7.10 Aplicaciones a las formas indeterminadas 7.11 Ejercicios 7.12 Regla de L'Hopital para la forma indeterminada 0/0 7.13 Ejercicios 7.14 Los símbolos + infinito y - infinito. Extensión de la regla de L'Hôpital 7.15 Límites infinitos 7.16 Comportamiento de log x y e a la x para valores grandes de x 7.17 Ejercicios 8. INTRODUCCION A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES 8.1 Introducción 8.2 Terminología y notación 8.3 Ecuación diferencial de primer orden para la función exponencial 8.4 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 8.5 Ejercicios 8.6 Algunos problemas físicos que conducen a ecuaciones diferenciales de primer orden 8.7 Ejercicios 8.8 Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes 8.9 Existencia de soluciones de la ecuación y" + by 8.10 Reducción de la ecuación general al caso particular y" + by 8.11 Teorema de unicidad para la ecuación y" + by = O 8.12 Solución completa de la ecuación y" + by 8.13 Solución completa de la ecuación y" + ay' + by 8.14 Ejercicios 8.15 Ecuaciones lineales no homogéneas de segundo orden con coeficientes constantes 8.16 Métodos particulares para la determinación de una solución particular de la ecuación no homogénea y" + ay' + by 8.17 Ejercicios 8.18 Ejemplos de problemas físicos que conducen a ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes constantes 8.19 Ejercicios 8.20 Observaciones relativas a las ecuaciones diferenciales no lineales 8.21 Curvas integrales y campos direccionales 8.22 Ejercicios 8.23 Ecuaciones separables de primer orden 8.24 Ejercicios 8.25 Ecuaciones homogéneas de primer orden 8.26 Ejercicios 8.27 Algunos problemas físicos y geométricos que conducen a ecuaciones de primer orden 8.28 Ejercicios de repaso 9. NUMEROS COMPLEJOS 9.1 Introducción histórica 9.2 Definiciones y propiedades 9.3 Los números complejos como una extensión de los números reales 9.4 La unidad imaginaria i 9.5 Interpretación geométrica. Módulo y argumento 9.6 Ejercicios 9.7 Exponenciales complejas 9.8 Funciones complejas 9.9 Ejemplos de fórmulas de derivación e integración 9.10 Ejercicios 10. SUCESIONES, SERIES, INTEGRALES IMPROPIAS 10.1 La paradoja de Zenón 10.2 Sucesiones 10.3 Sucesiones monótonas de números reales 10.4 Ejercicios 10.5 Series infinitas 10.6 Propiedad de linealidad de las series convergentes 10.7 Series telescópicas 10.8 Serie geométrica 10.9 Ejercicios 10.10 Ejercicios con expresiones decimales 10.11 Criterios de convergencia 10.12 Criterios de comparación para series de términos no negativos 10.13 El criterio integral 10.14 Ejercicios 10.15 Criterios de la raíz y del cociente para series de términos no negativos 10.16 Ejercicios 10.17 Series alternadas 10.18 Convergencia condicional y absoluta 10.19 Criterios de convergencia de Dirichlet y Abel 10.20 Ejercicios 10.21 Reordenación de series 10.22 Ejercicios varios de repaso 10.23 Integrales impropias 10.24 Ejercicios 11. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES 11.1 Convergencia puntual de sucesiones de funciones 11.2 Convergencia uniforme de sucesiones de funciones 11.3 Convergencia uniforme y continuidad 11.4 Convergencia uniforme e integración 11.5 Una condición suficiente para la convergencia uniforme 11.6 Series de potencias. Círculo de convergencia 11.7 Ejercicios 11.8 Propiedades de las funciones representadas por series reales de potencias 11.9 Serie de Taylor generada por una función 11.10 Condición suficiente para la convergencia de una serie de Taylor 11.11 Desarrollos en serie de potencias de las funciones exponencial y trigonométricas 11.12 Teorema de Bernstein 11.13 Ejercicios 11.14 Series de potencias y ecuaciones diferenciales 11.15 La serie binómica 11.16 Ejercicios 12. ALGEBRA VECTORIAL 12.1 Introducción histórica 12.2 El espacio vectorial de las n-plas de números reales 12.3 Interpretación geométrica para n = 3 12.4 Ejercicios 12.5 Producto escalar 12.6 Longitud o norma de un vector 12.7 Ortogonalidad de vectores 12.8 Ejercicios 12.9 Proyecciones. Ángulo de dos vectores en el espacio de n dimensiones 12.10 Los vectores coordenados unitarios 12.11 Ejercicios 12.12 Envolvente lineal de un conjunto finito de vectores 12.13 Independencia lineal 12.14 Bases 12.15 Ejercicios 12.16 El espacio vectorial Vn(C) de n-plas de números complejos 12.17 Ejercicios 13. APLICACIONES DEL ALGEBRA VECTORIAL A LA GEOMETRIA ANALITICA 13.1 Introducción 13.2 Rectas en el espacio n-dimensional 13.3 Algunas propiedades sencillas de las rectas 13.4 Rectas y funciones vectoriales 13.5 Ejercicios 13.6 Planos en el espacio euclídeo n-dimensional 13.7 Planos y funciones vectoriales 13.8 Ejercicios 13.9 Producto vectorial 13.10 El producto vectorial expresado en forma de determinante 13.11 Ejercicios 13.12 Producto mixto 13.13 Regla de Cramer para resolver un sistema de tres ecuaciones lineales 13.14 Ejercicios 13.15 Vectores normales a planos 13.16 Ecuaciones lineales cartesianas para planos 13.17 Ejercicios 13.18 Las secciones cónicas 13.19 Excentricidad de las secciones cónicas 13.20 Ecuaciones polares de las cónicas 13.21 Ejercicios 13.22 Cónicas simétricas respecto al origen 13.23 Ecuaciones cartesianas de las cónicas 13.24 Ejercicios 13.25 Ejercicios varios sobre cónicas 14. CALCULO CON FUNCIONES VECTORIALES 14.1 Funciones vectoriales de una variable real 14.2 Operaciones algebraicas. Componentes 14.3 Límites, derivadas e integrales 14.4 Ejercicios 14.5 Aplicaciones a las curvas. Tangencia 14.6 Aplicaciones al movimiento curvilíneo. Vector velocidad, velocidad y aceleración 14.7 Ejercicios 14.8 Vector tangente unitario, normal principal y plano osculador a una curva 14.9 Ejercicios 14.10 Definición de longitud de un arco 14.11 Aditividad de la longitud de arco 14.12 Función longitud de arco 14.13 Ejercicios 14.14 Curvatura de una curva 14.15 Ejercicios 14.16 Los vectores velocidad y aceleración en coordenadas polares 14.17 Movimiento plano con aceleración radial 14.18 Coordenadas cilíndricas 14.19 Ejercicios 14.20 Aplicaciones al movimiento planetario 14.21 Ejercicios de repaso 15. ESPACIOS LINEALES 15.1 Introducción 15.2 Definición de espacio lineal 15.3 Ejemplos de espacios lineales 15.4 Consecuencias elementales de los axiomas 15.5 Ejercicios 15.6 Subespacios de un espacio lineal 15.7 Conjuntos dependientes e independientes, en un espacio lineal 15.8 Bases y dimensión 15.9 Ejercicios 15.10 Productos interiores, espacios euclídeos. Normas 15.11 Ortogonalidad en un espacio euclídeo 15.12 Ejercicios 15.13 Construcción de conjuntos ortogonales. Método de Gram-Schmidt 15.14 Complementos ortogonales. Proyecciones 15.15 Aproximación óptima de elementos de un espacio euclídeo por elementos de un subespacio de dimensión finita 15.16 Ejercicios 16. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES 16.1 Transformaciones lineales 16.2 Núcleo y recorrido 16.3 Dimensión del núcleo y rango de la transformación 16.4 Ejercicios 16.5 Operaciones algebraicas con transformaciones lineales 16.6 Inversas 16.7 Transformaciones lineales uno a uno 16.8 Ejercicios 16.9 Transformaciones lineales con valores asignados 16.10 Representación matricial de las transformaciones lineales 16.11 Construcción de una representación matricial en forma diagonal 16.12 Ejercicios 16.13 Espacios lineales de matrices 16.14 Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices 16.15 Multiplicación de matrices 16.16 Ejercicios 16.17 Sistemas de ecuaciones lineales 16.18 Técnicas de cálculo 16.19 Inversas de matrices cuadradas 16.20 Ejercicios 16.21 Ejercicios varios sobre matrices Soluciones a los ejercicios
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CALCULO TEORIA DE CONJUNTOS NUMEROS REALES INDUCCION MATEMATICA CALCULO INTEGRAL GEOMETRIA CARTESIANA FUNCIONES CONTINUAS LIMITE CALCULO DIFERENCIAL FUNCION LOGARITMO FUNCION EXPONENCIAL FUNCIONES TRIGONOMETRICAS INVERSAS POLINOMIOS DE TAYLOR REGLA DE L'HOPITAL ECUACIONES DIFERENCIALES NUMEROS COMPLEJOS SUCESIONES SERIES INTEGRALES IMPROPIAS SERIES DE FUNCIONES ALGEBRA VECTORIAL GEOMETRIA ANALITICA FUNCIONES VECTORIALES ESPACIOS LINEALES TRANSFORMACIONES LINEALES MATRICES