Geometría diferencial de curvas y superficies con Mathematica /
Luis A. Cordero, Marisa Fernández, Alfred Gray.
- Wilmington: Addison-Wesley, 1995
- 823 p.
CONTENIDO 1. Curvas en el Plano 23 1.1 Espacios euclídeos 24 1.2 Curvas en Rn 26 1.3 Longitud de una curva 29 1.4 Campos de vectores a lo largo de curvas 32 1.5 Curvatura de una curva plana 34 1.6 El ángulo de giro 37 1.7 La parábola semicúbica 38 1.8 Ejercicios 39 2. Estudio de Curvas en el Plano con Matemática 41 2.1 Cálculo de la curvatura de una curva en el plano 44 2.2 Cálculo de longitudes de curvas 48 2.3 Relleno de curvas 50 2.4 Ejemplos de curvas en R2 51 2.5 Trazado de curvas definidas a trozos 56 2.6 Ejercicios 59 3. Curvas Planas Famosas 63 3.1 Cicloides 63 3.2 Lemniscatas de Bernoulli 65 3.3 Cardioides 67 3.4 La cisoide de Diocles 69 3.5 La tractriz 73 3.6 Clotoides 77 3.7 Ejercicios 79 4. Métodos Alternativos para el Trazado de Curvas Planas 83 4.1 Curvas en R2 definidas implícitamente 84 4.2 Ovalos de Cassini 89 4.3 Curvas planas en coordenadas polares 93 4.4 Ejercicios 98 5. Curvas Definidas a Partir de Otras 101 5.1 Evolutas 102 5.2 Evolutas iteradas 105 5.3 La evoluta de una tractriz es una catenaria 106 5.4 Evolventes 107 5.5 Rectas tangentes y rectas normales a curvas planas 112 5.6 Circunferencias osculatrices de curvas planas 116 5.7 Curvas paralelas 121 5.8 Curvas podarias 123 5.9 Ejercicios 126 6. Determinación de una Curva Plana por su Curvatura 131 6.1 Movimientos euclídeos 132 6.2 Curvas y movimientos euclídeos 136 6.3 Ecuación intrínseca de una curva plana 137 6.4 Representación gráfica de curvas con curvatura prefijada 142 6.5 Ejercicios 148 7. Curvas en el Espacio 151 7.1 Preliminares 152 7.2 Curvatura y torsión de curvas en R3 con velocidad unitaria 153 7.3 Curvatura y torsión de curvas en R3 con velocidad arbitraria 157 7.4 Cálculo de la curvatura y la torsión con Mathematica 162 7.5 La hélice circular y sus generalizaciones 166 7.6 La curva de Viviani 169 7.7 El teorema fundamental de curvas en el espacio 171 7.8 Representación gráfica de curvas en el espacio con curvatura y torsión prefijadas 174 7.9 Ejercicios 177 8. Tubos y Nudos 181 8.1 Tubos alrededor de curvas 181 8.2 Nudos toroidales 183 8.3 Ejercicios 189 9. Cálculo en Espacios Euclídeos 191 9.1 Vectores tangentes a Rn 192 9.2 Vectores tangentes como derivadas direccionales 194 9.3 Aplicaciones tangentes 196 9.4 Campos de vectores sobre Rn 200 9.5 Derivadas de campos de vectores sobre Rn 204 9.6 Revisión de curvas 210 9.7 Ejercicios 211 10. Superficies en el Espacio Euclídeo 213 10.1 Superficies parametrizadas en Rn 213 10.2 Superficies parametrizadas en R3 222 10.3 La aplicación local de Gauss 224 10.4 Definición de superficie regular en Rn 225 10.5 Vectores tangentes a superficies regulares en Rn 232 10.6 Aplicaciones entre superficies 234 10.7 Superficies de nivel en R3 236 10.8 Ejercicios 239 11. Ejemplos de Superficies 241 11.1 El grafo de una función de dos variables 243 11.2 El elipsoide 247 11.3 El elipsoide estereográfico 248 11.4 Toros 250 11.5 El paraboloide 253 11.6 Caracolas marinas 255 11.7 Superficies parametrizadas con singularidades 256 11.8 Representación gráfica de superficies en forma implícita 257 11.9 Ejercicios 258 12. Superficies No Orientables 261 12.1 Orientabilidad de superficies 261 12.2 Superficies no orientables descritas por identificaciones 267 12.3 La banda de Mobius 269 12.4 La botella de Klein 271 12.5 Realizaciones del plano proyectivo real 273 12.6 Coloreado de superficies con Mathematica 277 12.7 Ejercicios 279 13. Métricas sobre Superficies 283 13.1 La idea intuitiva de distancia sobre una superficie 283 13.2 Isometrías entre superficies 287 13.3 La idea intuitiva de área de una superficie 291 13.4 Un miniprograma para el cálculo de métricas y áreas sobre una superficie 293 13.5 Ejemplos de métricas 294 13.6 Ejercicios 296 14. Superficies en el Espacio de Dimensión 3 299 14.1 El operador forma 300 14.2 Curvatura normal 303 14.3 Cálculo del operador forma 307 14.4 Los autovalores del operador forma 311 14.5 Curvatura de Gauss y curvatura media 313 14.6 Las tres formas fundamentales 320 14.7 Ejemplos de cálculo manual de curvaturas 322 14.8 Curvatura de superficies definidas implícitamente 326 14.9 Ejercicios 333 15. Superficies en el Espacio de Dimensión 3 vía Matemática 335 15.1 Miniprogramas para el cálculo del operador forma y de las curvaturas 336 15.2 Ejemplos del cálculo de las curvaturas con Mathematica 339 15.3 Las curvaturas principales vía Mathematica 346 15.4 La aplicación de Gauss vía Mathematica 347 15.5 Ejercicios 354 16. Curvas Asintóticas sobre Superficies 355 16.1 Curvas asintóticas 356 16.2 Ejemplos de curvas asintóticas 360 16.3 Uso de Mathematica en la determinación de curvas asintóticas 364 16.4 Ejercicios 368 17. Superficies Regladas 371 17.1 Ejemplos de superficies regladas 372 17.2 Superficies regladas llanas 379 17.3 Superficies regladas no cilíndricas 383 17.4 Ejemplos de líneas de estricción de superficies regladas no cilíndricas 387 17.5 Un miniprograma para superficies regladas 388 17.6 Otros ejemplos de superficies regladas 391 17.7 Ejercicios 393 18. Superficies de Revolución 395 18.1 Líneas de curvatura 397 18.2 Curvaturas de una superficie de revolución 399 18.3 Determinación de una superficie con Mathematica 403 18.4 El catenoide 405 18.5 El hiperboloide de revolución 408 18.6 Superficies de revolución de curvas con curvatura prefijada 409 18.7 Superficies de revolución generadas a partir de puntos 411 18.8 Ejercicios 414 19. Superficies con Curvatura de Gauss Constante 417 19.1 La integral elíptica de segunda especie 418 19.2 Superficies de revolución con curvatura constante positiva 418 19.3 Superficies de revolución con curvatura constante negativa 422 19.4 La superficie de Kuen 426 19.5 Ejercicios 428 20. Geometría Intrínseca de Superficies 431 20.1 Fórmulas intrínsecas para la curvatura de Gauss 432 20.2 Teorema egregium de Gauss 437 20.3 Símbolos de Christoffel 439 20.4 Ecuaciones de Mainardi-Codazzi 443 20.5 Curvatura geodésica 445 20.6 Ejercicios 450 21. Líneas de Curvatura y Puntos Umbílicos 453 21.1 Ecuación diferencial de las líneas de curvatura 454 21.2 Puntos umbílicos 457 21.3 Sistemas triples ortogonales de superficies 461 21.4 Coordenadas elípticas 468 21.5 Coordenadas parabólicas 476 21.6 Ejercicios 479 22. Superficies Minimales I 481 22.1 Variación normal 481 22.2 Ejemplos de superficies minimales 485 22.3 La aplicación de Gauss de una superficie minimal 495 22.4 Ejercicios 497 23. Superficies Minimales II 501 23.1 Coordenadas isotermas 502 23.2 Elementos de álgebra y análisis complejos 503 23.3 Derivadas complejas y curvas minimales 508 23.4 Determinación de superficies minimales conjugadas 516 23.5 Superficie de Enneper de grado n 523 23.6 Ejercicios 528 24. Superficies Minimales III 531 24.1 La representación de Weierstrass 531 24.2 Parametrizaciones locales de Weierstrass vía Mathematica 535 24.3 Ejemplos de parametrizaciones locales de Weierstrass 536 24.4 Superficies minimales con un final plano 539 24.5 Ejercicios 542 25. Construcción de Superficies 545 25.1 Superficies paralelas 545 25.2 El operador forma de una superficie paralela 549 25.3 Superficies podarias 552 25.4 Helicoides generalizados 554 25.5 Superficies por torsión 561 25.6 Ejercicios 564 26. Variedades Diferenciables 565 26.1 Definición de variedad diferenciable 566 26.2 Funciones diferenciables sobre variedades díferenciables 571 26.3 Vectores tangentes a variedades diferenciables 577 26.4 Aplicaciones inducidas 586 26.5 Campos de vectores sobre variedades diferenciables 592 26.6 Campos de tensores sobre variedades diferenciables 597 26.7 Ejercicios 600 27. Variedades de Riemann 603 27.1 Derivadas covariantes 604 27.2 Métricas de Riemann indefinidas 610 27.3 Tratamiento clásico de las métricas 614 28. Superficies Abstractas 619 28.1 Métricas sobre superficies abstractas 620 28.2 Ejemplos de superficies abstractas 623 28.3 Cálculo de la curvatura de métricas sobre superficies abstractas 625 28.4 Orientabilidad de una superficie abstracta 628 28.5 Curvatura geodésica en las superficies abstractas 629 28.6 Ejercicios 630 29. Geodésicas en Superficies 633 29.1 Las ecuaciones geodésicas 633 29.2 Parametrizaciones de Clairaut 636 29.3 Ejemplos de parametrizaciones de Clairaut 640 29.4 Determinación númerica de las geodésicas con Mathematica 642 29.5 Ejercicios 646 30. Superficies Minimales IV 647 30.1 Fórmula de Bjorling 647 30.2 Determinación de superficies minimales a partir de curvas planas 650 30.3 Ejemplos de superficies minimales construidas a partir de curvas planas 652 30.4 Ejercicios 658 Apéndices A Programas generales 659 B Curvas planas 707 C Curvas planas definidas implícitamente 721 D Curvas planas en coordenadas polares 727 E Curvas en el espacio 731 F Superficies 735 G Superficies definidas en forma implícita 759 H Representación gráfica de membranas 763 I Curvas minimales 765 J Métricas 773 K Programas para la realización de representaciones gráficas 777 L Mathematica y Acrospin 783 Bibliografía 789 Indice Terminológico 805
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GEOMETRIA DIFERENCIAL CURVAS EN PLANO CURVAS PLANAS TUBOS-CURVAS NUDOS TOROIDALES ESPACIO EUCLIDEOS VECTORES TANGENTES SUPERFICIES NO ORIENTALES METRICAS GRAFOS ELIPSOIDE TOROS-MATEMATICA PARABOLOIDE CARACOLAS MARINAS SUPERFICIES PARAMETRIZADAS CURVAS ASINTOTICAS SUPERFICIES REGLADAS SUPERFICIES DE REVOLUCION SUPERFICIES CON CURVATURA GEOMETRIA INTRINSECA SUPERFICIES MINIMALES VARIEDADES DIFERENCIALES VARIEDADES DE RIEMANN GEODESICAS SUPERFICIES ABSTRACTAS