Matemáticas generales : algebra-análisis / Charles Pisot y Marc Zamansky.

LIBRO I.- CONCEPTOS GENERALES
CAPÍTULO PRIMERO Conjuntos
Primera Parte. - LÓGICA Y SÍMBOLOS LÓGICOS 3
Segunda Parte. - OPERACIONES CON LOS CONJUNTOS 5
CAPÍTULO II Funciones, aplicaciones
1. Funciones 10
2. Aplicaciones biunívocas, potencia 12
3. Permutación de un conjunto finito 14
4. Función compuesta 15
CAPÍTULO III Relaciones binarias
Primera Parte. RELACIÓN DE ORDEN 18
Segunda Parte. - RELACIÓN DE EQUIVALENCIA 18
Tercera Parte. - LEYES DE COMPOSICIÓN 20
1. Definiciones 20
2. Isomorfismo 23
LIBRO II. - ÁLGEBRA
CAPÍTULO PRIMERO Los números naturales
1. Definiciones 27
2. Operaciones 28
3. Conjuntos numerables 29
4. Sucesiones 30
CAPÍTULO II Aplicación del concepto de número entero; los números relativos; los números racionales
Primera Parte. - SIMETRIZACIÓN DE UNA LEY DE COMPOSICIÓN 31
Segunda Parte. - ENTEROS RELATIVOS 34
Tercera Parte. - NÚMEROS RACIONALES 38
1. Definiciones, operaciones 38
2. Relación de orden 41
3. Valor absoluto 42
CAPÍTULO III Leyes de composición
Primera Parte. - LEYES INTERNAS 45
1. Grupos 45
2. Anillos 46
3. Cuerpo 47
Segunda Parte. - LEYES EXTERNAS 49
1. Espacio vectorial 49
2. Norma en un espacio vectorial 50
Tercera Parte. – EJEMPLOS 51
1. Funciones 51
2. Sucesiones 54
CAPÍTULO IV Los polinomios
Primera Parte. - ESPACIO VECTORIAL. ANILLO DE POLINOMIOS 56
1. Espacio vectorial de polinomios 56
2. Anillo de polinomios 58
Segunda Parte. - DIVISIÓN SEGÚN LAS POTENCIAS DECRECIENTES 59
1. Igualdad de la división 59
2. M.c.d. de dos polinomios 62
Tercera Parte. - DIVISIÓN SEGÚN LAS POTENCIAS CRECIENTES 67
Cuarta Parte. - DERIVACIÓN DE LOS POLINOMIOS, FÓRMULA DE TAYLOR 71
1. Derivación 71
2. Fórmula de Taylor 73
3. Fórmula y coeficientes del binomio 75
Quinta Parte. - CEROS DE LOS POLINOMIOS 77
Sexta Parte. - POLINOMIOS CON VARIAS INDETERMINADAS 80
CAPÍTULO V Números complejos
Primera Parte. - EXTENSIÓN ALGEBRAICA 82
Segunda Parte. - NÚMEROS COMPLEJOS 84
1. Definiciones y operaciones 84
2. Ceros de los polinomios de C[x] 92
CAPÍTULO VI Fracciones racionales
CAPÍTULO VII Espacios vectoriales
Primera Parte. - DEFINICIONES Y PROPIEDADES PRINCIPALES 107
1. Definiciones 107
2. Construcción y ejemplos de espacios vectoriales 109
Segunda Parte. - INDEPENDENCIA LINEAL, BASES 111
1. Definiciones 111
2. Isomorfismo entre un espacio de dimensión n y Kⁿ 113
3. Bases 115
4. Espacio cociente 116
Tercera Parte. - APLICACIONES LINEALES 118
1. Definiciones 118
2. Aplicaciones biunívocas, núcleo 120
3. Orden de una aplicación lineal 120
4. Aplicación compuesta 122
Cuarta Parte. - FORMAS LINEALES, ESPACIO DUAL 123
1. Definiciones 123
2. Orden de una aplicación lineal 124
Quinta Parte. - FORMAS BILINEALES Y MULTILINEALES 126
1. Definiciones de las formas bilineales 126
2. Propiedades de las formas bilineales 128
3. Formas multilineales 128
Sexta Parte. - ECUACIONES LINEALES 130
1. Teoría general 130
2. Ecuaciones homogéneas 131
3. Método de las eliminaciones sucesivas 132
Séptima Parte. - ESPACIOS AFINES. CONJUNTOS CONVEXOS 134
1. Variedad lineal afín, transformaciones afines 134
2. Baricentro 137
3. Conjuntos convexos 139
CAPITULO VIII Matrices
Primera Parte. PROPIEDADES GENERALES 141
Segunda Parte. OPERACIONES ALGEBRAICAS CON LAS MATRICES 143
1. Espacio vectorial de matrices 143
2. Producto de dos matrices 145
Tercera Parte. MATRICES CUADRADAS 147
1. Definiciones 147
2. Matrices invertibles 148
3. Transformada de una matriz 149
4. Transposición de una matriz 151
5. Imaginaria conjugada de una matriz 152
CAPÍTULO IX Determinantes
Primera Parte. VOLUMEN DE LOS PARALELOTOPOS EN Rⁿ 154
1. Paralelotopos 154
Segunda Parte. DETERMINANTES 162
1. Definición 162
2. Propiedades de los determinantes 165
3. Aplicación de los determinantes a la determinación del orden de un sistema de vectores 170
Tercera Parte. DETERMINANTES Y ECUACIONES LINEALES 172
1. Sistema de Cramer 172
2. Caso general 175
CAPÍTULO X Espacio euclideo
Primera Parte. PRODUCTO INTERIOR 178
Segunda Parte. ESPACIOS EUCLIDEOS DE DIMENSIÓN FINITA 182
1. Base ortogonal 183
2. Isometría con Rⁿ 184
3. Formas bilineales 185
4. Formas cuadráticas 188
5. Transformaciones ortogonales 189
CAPÍTULO XI Reducción de las matrices
Primera Parte. REDUCCIÓN DE UNA MATRIZ CUALQUIERA 193
1. Valores propios, vectores propios 193
2. Casos de valores propios todos distintos 195
3. Caso general 197
Segunda Parte. REDUCCIÓN DE UNA MATRIZ REAL SIMÉTRICA POR UNA MATRIZ ORTOGONAL. REDUCCIÓN DE UNA FORMA CUADRATICA 199
LIBRO III. ANÁLISIS
CAPÍTULO PRIMERO Los números reales
Primera Parte. ESTUDIO TOPOLÓGICO DE Q 210
1. Sucesiones de números racionales convergentes hacia un número racional 210
2. Intervalos de Q 214
3. Sucesión doble convergente de números racionales 215
4. Sucesiones de Cauchy 215
4 5. Operaciones con las sucesiones de Cauchy y propiedades de estas sucesiones 218
Segunda Parte. CONSTRUCCIÓN DEL CUERPO R DE LOS NÚMEROS REALES. TOPOLOGÍA DE R 220
1. Relación de equivalencia en el conjunto de las sucesiones de Cauchy de los números racionales 220
2. El cuerpo R 221
3. Intervalos de números reales, sucesiones convergentes, sucesiones de Cauchy 225
4. Las dos propiedades fundamentales de R 229
CAPÍTULO II La recta numérica
1. Definiciones relativas a los conjuntos de puntos: mayorantes, minorantes, punto adherente, punto de acumulación 231
2. Teoremas fundamentales: teoremas de Bolzano-Weierstrass, de las sucesiones monótonas, de Borel-Lebesgue 236
3. Extremos superiores e inferiores 239
4. Teoremas de limites 241
CAPÍTULO III Aplicaciones de R en R: funciones reales de una variable real
Primera Parte-GENERALIDADES SOBRE LAS FUNCIONES NUMÉRICAS 244
1. Definiciones 244
2. Limites superiores e inferiores de una sucesión 247
3. Limites en un punto 250
Segunda Parte. FUNCIONES REALES CONTINUAR THE UNA VARIABLE REAL 254
1. Definiciones de continuidad. Primeras propiedades de las funciones continuas 254
2. Los dos teoremas fundamentales de las funciones continuas en un intervalo 257
3. Continuidad uniforme 259
Tercera Parte. FUNCIONES MONOTONAS. FUNCIONES CONTINUAS MONOTONAS 260
1. Funciones monótonas 260
2. Funciones continuas monótonas 265
Cuarta Parte. FUNCIONES ESCALONADAS 271
1. Definición y propiedades de una función escalonada en [a, b] 271
2. Operaciones con las funciones escalonadas [a, b] 273
Quinta Parte. LA CONVERGENCIA UNIFORME 274
1. Definición de la convergencia uniforme de una sucesión de funciones numéricas 274
2. Convergencia uniforme de una sucesión de funciones escalonadas. Funciones casi-escalonadas 276
3. Ejemplos de funciones casi-escalonadas; funciones continuas, funciones monótonas 286
Sexta Parte. FUNCIONES DERIVABLES
1. Definiciones 288
2. Propiedades generales 291
3. Teorema de Rolle y sus aplicaciones 291
4. Funciones convexas 300
5. Funciones periódicas 303
6. Fórmula de Taylor 306
Séptima Parte. LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 309
1. El problema 309
2. Estudio de la función, entero positivo 310
3. Definición y propiedades de….. 311
4. La función…. 318
5. Las funciones log, x y x 321
6. Derivada de la función exponencial. Número e 323
CAPÍTULO IV Integración de las funciones reales de una variable real
Primera Parte. INTEGRALES DE LAS FUNCIONES ESCALONADAS EN [a, b] 329
1. Definición de integral 329
2. Propiedades de la integral de las funciones escalonadas 331
3. Propiedades relativas al intervalo de integración 336
Segunda Parte. INTEGRALES DE LAS FUNCIONES CASI-ESCALONADAS EN [a, b] 337
1. Definición 337
2. Propiedades de la integral de funciones casi-escalonadas 339
3. Propiedades relativas al intervalo de integración 340
4. Integración de una sucesión de funciones casi-escalonadas 341
5. Integral de Riemann 342
Tercera Parte INTEGRALES Y PRIMITIVAS DE LAS FUNCIONES CONTINUAS 343
1. Primera fórmula de la media 343
2. Primitivas e integrales de las funciones continuas 345
3. Integrales de funciones compuestas (cambios de variable) 346
4. Integración por partes 348
5. Integración y derivación de una sucesión de funciones reales 350
Cuarta Porte. FUNCIONES DEFINIDAS POR INTEGRALES 352
1. Definición 353
2. Continuidad 354
3. Derivación 355
4. Integración 357
CAPÍTULO V. El espacio métrico Rⁿ
1. Concepto general de distancia 359
2. Concepto de norma en un espacio vectorial sobre R 361
3. Normas sobre Rⁿ 364
4. Concepto de límite en Rⁿ 367
5. Entornos n-esféricos y n-cúbicos 369
6. Propiedades topológicas de Rⁿ 371
CAPÍTULO VI Funciones vectoriales de una variable real: Aplicaciones de R en Rᵖ
Primera Parte. FUNCIONES VECTORIALES 375
1. Definiciones y observaciones generales 375
2. Funciones vectoriales continuas 377
3. Funciones vectoriales derivables 380
4. Fórmula de Taylor 382
5. Integración de las funciones vectoriales 383
6. Primitivas de las funciones vectoriales continuas 383
Segunda Parte. ARCOS CONTINUOS, RECTIFICABLES 384
1. Líneas poligonales en Rᵖ 385
2. Arcos de Jordan rectificables 389
1. Condiciones analíticas para que un arco sea rectificable 392
4. Cambio de parámetro 397
5. Topología sobre un arco de Jordan rectificable 400
CAPÍTULO VII Funciones reales de varias variables reales: Aplicaciones de Rᵖ en R. Conceptos sobre las aplicaciones de Rᵖ en Rq
Primera Parte. CONTINUIDAD, DERIVADAS PARCIALES DE LAS APLICACIONES DE Rᵖ EN R 403
1. Los conjuntos de puntos D en R² 403
2. Continuidad de las aplicaciones de Rᵖ en R 405
3. Convergencia uniforme. Funciones escalonadas 407
4. Derivadas parciales 409
Segunda Parte.- APLICACIONES DE RP EN & DIFERENCIABLES. DIFERENCIALES 412
1. Definición de las funciones diferenciables 412
2. Operaciones con las funciones diferenciables 414
3. Diferenciales 419
4. Fórmula de Taylor 423
Tercera Parte. APLICACIONES DE Rp EN Rq. CONCEPTOS RELATIVOS A LAS FUNCIONES COMPLEJAS DE UNA VARIABLE COMPLEJA. DEFINICIÓN DE e 425
1. Aplicaciones de Rp en Rq 425
2. El cuerpo C de los números complejos y el espacio R² 426
3. Funciones complejas de una variable real 429
4. Funciones complejas de variable compleja 431
5. La función exponencial z 6. Teorema de d'Alembert 446
CAPÍTULO VIII Integrales curvilineas
1. Integral curvilínea 449
2. Integración de las diferenciales 453
CAPÍTULO IX Integrales dobles
Primera Parte.- DEFINICIÓN, PROPIEDADES, CALCULO DE LAS INTEGRALES DOBLES 457
1. Medida 457
2. Integral doble de una función escalonada 460
3. Integral doble de una función continua 461
4. Extensión de la medida 463
5. Cálculo de una integral doble 464
6. Ejemplos 468
Segunda Parte. INTEGRALES DOBLES E INTEGRALES CURVILÍNEAS 469
1. Fórmula de Riemann 469
2. Cálculo de áreas 472
3. Cambio de variables en una integral doble 473
4. Invariancia de la medida por desplazamiento 480
5. Aplicaciones al cálculo de volúmenes 481
Tercera Parte INTEGRALES TRIPLES 482
LIBRO IV. INSTRUMENTOS Y MÉTODOS MATEMATICOS
CAPITULO PRIMERO. Estudio local de las funciones numéricas
1. Comparación de funciones. Notaciones de Landau 491
2. Comparación de sucesiones 497
3. Patrones de comparación 497
4. Desarrollos asintóticos 498
5. Desarrollos usuales. Propiedades 500
6. Generalización. Observaciones diversas 503
CAPÍTULO II. Integración de un intervalo no compacto de R
1. Definiciones, convergencia, convergencia absoluta 508
2. Propiedades algebraicas 513
3. Cambio de variable 514
4. Integración por partes 515
5. Criterio de convergencia 517
CAPÍTULO III. Series
Primera Parte. SERIES NUMÉRICAS 521
1. Definiciones y propiedades generales 521
2. Series de términos reales positivos o nulos 526
3. Series absolutamente convergentes 534
4. Series de términos reales no absolutamente convergentes 536
5. Productos infinitos 540
6. Representación de los números reales en un sistema de base a 542
Segunda Parte. SERIES DE FUNCIONES 547
1. Generalidades 547
2. Series enteras 549
3. Series trigonométricas 553
Tercera Parte.- REPRESENTACIÓN DE FUNCIONES POR LAS SERIES 555
1. Series de Taylor 555
2. Series de Fourier 559
CAPÍTULO IV. Funciones usuales
Primera Parte. FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL 564
1. Recopilación de resultados 564
2. Resumen de las propiedades de a, log, x, x 565
3. Funciones hiperbólicas reales 567
4. Funciones trigonométricas reales 573
5. Gráfica de una función real de variable real 577
Segunda Parte. FUNCIONES COMPLEJAS DE UNA VARIABLE COMPLEJA 581
Tercera Parte. FUNCIONES VECTORIALES: APLICACIONES DE R EN R² 585
CAPÍTULO V. Cálculo de integrales
Primera Parte. CALCULO APROXIMADO 588
Segunda Parte. CALCULO DE INTEGRALES MEDIANTE PRIMITIVAS 593
CAPÍTULO VI. Ecuaciones diferenciales
Primera Parte.- ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 606
1. Ecuaciones de variables separadas 606
2. Ecuaciones lineales 613
3. Consideraciones generales 620
Segunda Parte. ECUACIONES DE SEGUNDO ORDEN 628
1. Tipos particulares 628
2. Ecuaciones lineales de coeficientes constantes sin segundo miembro 634
3. Ecuación lineal con segundo miembro 638
4. Ecuación lineal con coeficientes constantes y con segundo miembro 640
Tercera Parte.- SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES 644
1. Generalidades 644
2. Sistemas lineales con coeficientes constantes 645
INDICE 653