Matemáticas avanzadas para ingeniería, T. 1 / Erwin Kreyszig

CONTENIDO
Capítulo 1. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden 19
Conceptos e ideas básicos, 19
Consideraciones geométricas. Isóclinas, 27
Ecuaciones de variables separables, 29
Ecuaciones reducibles a la forma de variables separables, 37
Ecuaciones diferenciales exactas, 39
Factores integrantes, 42
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, 44
Variación de parámetros 49
Circuitos eléctricos, 50
Familias de curvas. Trayectorias ortogonales, 56
Método de iteración de Picard, 61
Existencia y unicidad de las soluciones, 64
Capítulo 2. Ecuaciones diferenciales lineales ordinarias 71
Ecuaciones lineales homogéneas de segundo orden, 72
Ecuaciones homogénas de segundo orden con coeficientes constantes, 75
Solución general. Sistema fundamental, 78
Raíces complejas de la ecuación característica. Problema con valor inicial, 81
Raíz doble de la ecuación característica, 85
Oscilaciones libres, 87
Ecuación de Cauchy, 96
Existencia y unicidad de las soluciones, 98
Ecuaciones lineales homogénas de orden arbitrario, 104
Ecuaciones lineales homogéneas de orden arbitrario con coeficientes constantes, 108
Ecuaciones lineales no homogénas, 110
Un método para resolver ecuaciones lineales no homogéneas, 112
Oscilaciones forzadas. Resonancia, 115
Circuitos eléctricos, 122
Método complejo para obtener soluciones particulares, 126
Método general para resolver ecuaciones no homogéneas, 129
Capítulo 3. Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias. Funciones ortogonales 133
El método de las series de potencias, 133
Base teórica del método de las series de potencias, 137
Ecuación de Legendre. Polinomios de Legendre, 143
Ampliación del método de las series de potencias. Ecuación de índices, 147
Ecuación de Bessel. Funciones de Bessel de primera clase, 160
Funciones de Bessel de segunda clase, 166
Conjuntos ortogonales de funciones, 170
Problema de Sturm-Liouville, 175
Ortogonalidad de los polinomios de Legendre y las funciones de Bessel, 179
Capítulo 4. Transformada de Laplace 185
Transformada de Laplace. Transformada inversa. Linealidad, 185
Transformadas de Laplace de derivadas e integrales, 191
Transformación de ecuaciones diferenciales ordinarias, 195
Fracciones parciales, 197
Ejemplos y aplicaciones, 203
Derivación e integración de las transformadas, 208
Función escalón unitario, 211
Traslación sobre el eje t, 215
Funciones periódicas, 220
Tabla de algunas transformadas de Laplace, 230
Capítulo 5. Algebra lineal, parte I: vectores 233
Escalares y vectores, 234
Componentes de un vector, 236
Adición de vectores. Multiplicación por escalares, 239
Espacios vectoriales. Dependencia e independencia lineales, 243
Producto interior (producto escalar), 247
Espacios de productos interiores, 253
Producto vectorial, 254
Productos vectoriales en términos de las componentes, 257
Triple producto escalar. Otros productos repetidos, 262
Capítulo 6. Algebra lineal, parte II: matrices y determinantes 267
Conceptos básicos, 268
Adición de matrices. Multiplicación por números, 270
Transpuesta de una matriz. Matrices especiales, 272
Multiplicación de matrices, 274
Sistemas de ecuaciones lineales. Eliminación de Gauss, 284
Determinantes de segundo y tercer órdenes, 289
Determinantes de orden arbitrario, 295
Rango de una matriz. Equivalencia respecto a los renglones, 307
Sistemas de ecuaciones lineales: existencia y propiedades generales de las soluciones, 309
Dependencia lineal y rango. Matrices singulares, 312
Sistemas de ecuaciones lineales: solución por determinantes, 315
La inversa de una matriz, 320
Formas bilineal, cuadrática, hermitiana y antihermitiana, 324
Valores característicos, vectores característicos, 329
Valores característicos de matrices hermitianas, antihermitianas y unitarias, 339
Capítulo 7. Cálculo diferencial vectorial. Campos vectoriales 343
Campos escalares y campos vectoriales, 343
Cálculo vectorial, 347
Curvas, 350
Longitud de arco, 353
Tangente. Curvatura y torsión, 356
Velocidad y aceleración, 360
Regla de la cadena y teorema del valor medio para funciones de varias variables, 364
Derivada direccional. Gradiente de un campo escalar, 368
Transformación de sistemas de coordenadas y componentes vectoriales, 376
Divergencia de un campo vectorial, 379
Rotacional de un campo vectorial, 384
Capítulo 8. Integrales de línea y de superficie. Teoremas sobre integrales 387
Integral de línea, 387
Evaluación de las integrales de línea, 390
Integrales dobles, 395
Transformación de integrales dobles e integrales de línea, 403
Superficies, 409
Plano tangente. Primera forma fundamental. Area, 411
Integrales de superficie, 418
Integrales triples. Teorema de la divergencia de Gauss, 424
Consecuencias y aplicaciones del teorema de la divergencia, 428
Teorema de Stokes, 435
Consecuencias y aplicaciones del teorema de Stokes, 438
Integrales de línea independientes de la trayectoria, 440
Capítulo 9. Series e integrales de Fourier 451
Funciones periódicas. Serie trigonométrica, 451
Series de Fourier. Fórmulas de Euler, 454
Funciones que tienen período arbitrario, 461
Funciones pares e impares, 464
Desarrollos de medio rango, 469
Determinación de los coeficientes de Fourier sin integración, 473
Oscilaciones forzadas, 479
Aproximación mediante polinomios trigonométricos. Error cuadrático, 482
La integral de Fourier, 485