Algebra y geometría lineal / Andrés Raya, Alfonso Rider, Rafael Rubio.

CONTENIDO
1. Vectores libres 21
1.1. Nota 21
1.2. El plano geométrico 21
1.3. Semirrectas o rayos 22
1.4. Segmentos 22
1.5. Vectores fijos 22
1.6. Longitudes y distancias 23
1.7. Módulo de un vector 23
1.8. Paralelismo de rectas. El concepto de dirección 24
1.9. Dirección de un vector 24
1.10. Semiplanos 25
1.11. Sentido de un vector 25
1.12. Multiplicación de números por vectores fijos 26
1.13. El Teorema de Thales 27
1.14. Puntos medios 27
1.15. Simetrías centrales 28
1.16. Equipolencia de vectores fijos 29
1.17. Paralelogramos 31
1.18. El concepto de vector libre 31
1.19. Adición de vectores libres 33
1.20. Multiplicación de números por vectores libres 35
1.21. Dependencia lineal 38
1.22. Bidimensionalidad del plano 41
1.23. Coordenadas 41
1.24. La recta geométrica 42
1.25. El espacio geométrico 42
2. Espacios vectoriales 45
2.1. El concepto de espacio vectorial 45
2.2. Primeras propiedades de los espacios vectoriales 46
2.3. Los vectores libres 48
2.4. Los cuerpos como espacios vectoriales sobre sí mismos 48
2.5. Espacios cartesianos 48
2.6. Espacios de sucesiones 49
2.7. Espacios de polinomios 50
2.8. Espacios de funciones 51
2.9. Algebras asociativas 51
2.10. Espacios vectoriales sobre cuerpos no conmutativos 51
2.11. Módulos 52
2.12. Complementos y ejercicios 52
3. Subespacios vectoriales 55
3.1. Definición de subespacio vectorial 55
3.2. Caracterizaciones 55
3.3. Combinaciones lineales 57
3.4. Intersección de subespacios vectoriales 57
3.5. Subespacio generado por un conjunto de vectores 58
3.6. Suma de subespacios 59
3.7. Subespacios de vectores libres 60
3.8. El espacio l infinito de las sucesiones acotadas 60
3.9. El espacio c de las sucesiones convergentes 61
3.10. El espacio c(sub 0) de las sucesiones infinitésimas 62
3.11. El espacio Kn[xi] de polinomios de grado a lo sumo n 62
3.12. Subálgebras asociativas 63
3.13. El álgebra de las funciones convergentes en un punto 63
3.14. Algebras de funciones continuas 64
3.15. Algebras de funciones derivables 64
3.16. Algebras de funciones integrables 65
3.17. Complementos y ejercicios 66
4. Sistemas generadores 69
4.1. Sistemas generadores de un espacio 69
4.2. Reducción de sistemas generadores 69
4.3. Espacios vectoriales de generación finita e infinita 70
4.4. Concepto de dependencia e independencia lineal 71
4.5. Propiedades elementales de la dependencia 71
4.6. Conjuntos ligados y conjuntos libres 73
4.7. Ampliación de conjuntos libres 73
4.8. Concepto de base 74
4.9. Complementos y ejercicios 74
5. Espacios de generación finita 77
5.1. Teorema fundamental de los espacios de generación finita 77
5.2. Obtención de bases a partir de un sistema generador 79
5.3. Equicardinalidad de bases para generación finita 79
5.4. Concepto de dimensión de un espacio 80
5.5. La dimensión como cardinal mínimo de un sistema generador 80
5.6. Caracterización de la finito-dimensionalidad 81
5.7. Obtención de bases a partir de un conjunto libre 81
5.8. La Dimensión como cardinal máximo de un conjunto libre 82
5.9. Rango de varios vectores 82
5.10. Coordenadas de un vector en una base 83
5.11. Las deltas de Kronecker 84
5.12. Espacios de vectores libres 85
5.13. Espacios analíticos 85
5.14. El espacio f de las sucesiones casi nulas 86
5.15. Espacios de polinomios 87
5.16. Complementos y ejercicios 88
6. Aplicaciones lineales 91
6.1. Definición de aplicación lineal 91
6.2. Propiedades 92
6.3. Imagen y núcleo de una aplicación lineal 93
6.4. Linealidad y generación 94
6.5. Linealidad y dependencia 95
6.6. Linealidad y bases 96
6.7. Composición e inversión de aplicaciones lineales 96
6.8. Isomorfía de espacios vectoriales. Espacios abstractos 97
6.9. El isomorfismo de Descartes 98
6.10. Isomorfía y dimensión 99
6.11. Igualación de los espacios f y R[xi] 100
6.12. Isomorfía y rango 100
6.13. El grupo lineal de un espacio vectorial 100
6.14. Espacios de aplicaciones lineales 101
6.15. Otras propiedades de la composición 103
6.16. El álgebra de los endomorfismos de un espacio 104
6.17. Homotecias vectoriales 104
6.18. Subespacios invariantes por un endomorfismo 106
6.19. Vectores dobles 108
6.20. Linealidad en el Análisis 108
6.21. Morfismos de Algebras asociativas 109
6.22. Complementos y ejercicios 110
7. Suma directa 113
7.1. Suma directa de subespacios 113
7.2. Descomposición de un espacio en suma directa de subespacios 114
7.3. Sumas directas en vectores libres 114
7.4. Producto directo de dos espacios vectoriales 115
7.5. Relación entre los productos directos y las sumas directas 116
7.6. Proyecciones asociadas a una descomposición en suma directa 117
7.7. Endomorfismos proyectores 120
7.8. Simetrías oblicuas 120
7.9. Complementos y ejercicios 122
8. Dimensión y codimensión de subespacios 125
8.1. Subespacios de un espacio de dimensión finita 125
8.2. Infinito-dimensionalidad de los espacios de funciones 126
8.3. El lema de ampliación de bases 126
8.4. Existencia de complementarios 126
8.5. Dimensión de la suma e intersección 127
8.6. Dimensión de un espacio producto 129
8.7. Subespacios de Dimensión finita. Rectas y planos 130
8.8. Ecuaciones paramétricas de un subespacio 130
8.9. Codimensión de un subespacio 132
8.10. Subespacios de codimensión finita. Hiperplanos 132
8.11. Complementos y ejercicios 133
9. Espacios cociente 137
9.1. Congruencias en un espacio, módulo un subespacio 137
9.2. Espacio cociente 138
9.3. Epimorfismo canónico sobre un subespacio 138
9.4. Primer Teorema de Isomorfía 139
9.5. Inyección canónica de un subespacio 140
9.6. Descomposición canónica de una aplicación lineal 140
9.7. Isomorfía del espacio cociente con los complementarios 140
9.8. Complementos y ejercicios 141
10. Subespacios y aplicaciones afines 143
10.1. Comentarios a un capítulo de Geometría 143
10.2. Subespacios afines de un espacio vectorial 144
10.3. Caracterización de los subespacios afines 144
10.4. Dimensión de un subespacio afín 145
10.5. Contenido entre subespacios afines 145
10.6. Combinaciones afines 146
10.7. Dependencia e independencia afín 148
10.8. Ecuaciones paramétricas de subespacios afines 150
10.9. Imagen inversa de un vector en una aplicación lineal 151
10.10. Traslaciones en un espacio vectorial 152
10.11. Aplicaciones afines 153
10.12. Morfismos y combinaciones afines 156
10.13. El grupo afín 158
10.14. Complementos y ejercicios 159
11. Matrices y sus operaciones 161
11.1. Definiciones 161
11.2. Igualdad de matrices 162
11.3. Tipos particulares de matrices 162
11.4. Espacios vectoriales de matrices 164
11.5. Dimensión del espacio de matrices 165
11.6. Multiplicación de matrices 166
11.7. Propiedades de la multiplicación de matrices 167
11.8. El álgebra de las matrices cuadradas 168
11.9. El grupo lineal de grado n 169
11.10. Traza de una matriz cuadrada 169
11.11. Trasposición de matrices 170
11.12. Matrices simétricas y antisimétricas 172
11.13. Parte simétrica y parte antisimétrica de una matriz cuadrada 173
11.14. Matrices hermíticas y antihermíticas 174
11.15. Complementos y ejercicios 175
12. Rango de una matriz 179
12.1. Rango de una matriz 179
12.2. Matrices cuadradas regulares 181
12.3. Caracterización del rango mediante submatrices principales 182
12.4. Método del orlado para el cálculo del rango 183
12.5. Complementos y ejercicios 185
13. Determinantes 189
13.1. Aplicaciones multilineales 189
13.2. Aplicaciones multilineales alternadas 190
13.3. Formas multilineales y multilineales alternadas 191
13.4. Formas n-lineales alternadas de un espacio n-dimensional 192
13.5. La función determinante del espacio K (supra n) 195
13.6. Determinante de una matriz cuadrada 196
13.7. Determinantes y trasposición 198
13.8. Determinante de un producto 199
13.9. Determinantes y regularidad 199
13.10. El grupo lineal especial de grado n 200
13.11. Adjuntos y menores complementarios 200
13.12. Cálculo de determinantes 203
13.13. Triangularización de determinantes 204
13.14. Matriz adjunta de una matriz cuadrada 205
13.15. Cálculo de la matriz inversa 207
13.16. Determinantes y rango de una matriz 207
13.17. Complementos y ejercicios 207
14. Aplicaciones lineales en dimensión finita 213
14.1. Aplicaciones lineales de rango finito 213
14.2. Endomorfismos de un espacio finito-dimensional 214
14.3. Automorfismos de un espacio finito-dimensional 215
14.4. Igualdad de dos morfismos que empiezan en dimensión finita 215
14.5. Matriz de un morfismo lineal entre espacios finito-dimensionales 216
14.6. Ecuaciones de una aplicación lineal 217
14.7. Matriz de un endomorfismo 217
14.8. Matriz de una homotecia 218
14.9. Matriz de una forma lineal 218
14.10. Determinación de aplicaciones lineales mediante matrices 218
14.11. El isomorfismo lineal 219
14.12. Dimensión del espacio de aplicaciones lineales 220
14.13. Matriz de una compuesta 221
14.14. Matriz de la inversa de un isomorfismo lineal 222
14.15. Isomorfismo de Algebras unitarias 222
14.16. El isomorfismo de grupos 223
14.17. Dimensión y una base de la imagen 224
14.18. Coordenadas de un vector imagen 224
14.19. Dimensión y una base del núcleo 225
14.20. Imagen inversa 226
14.21. Complementos y ejercicios 227
15. Sistemas lineales 233
15.1. Ecuaciones lineales 233
15.2. Sistemas lineales 233
15.3. Interpretación geométrica de un sistema lineal 235
15.4. La condición de Rouché Frobenius 235
15.5. Sistemas y regla de Cramer 236
15.6. Estudio y resolución de los sistemas homogéneos 237
15.7. Estudio de la resolución de los sistemas completos 238
15.8. Complementos y ejercicios 240
16. Dualidad 243
16.1. Espacio dual de uno dado. Bases duales 243
16.2. El espacio bidual 245
16.3. Hiperplanos y formas lineales 246
16.4. Ecuación implícita de un hiperplano 248
16.5. Proyecciones sobre hiperplanos y rectas. Ecuaciones 249
16.6. Simetrías especulares axiales. Ecuaciones 249
16.7. Ecuaciones implícitas de un subespacio 250
16.8. Paso de las ecuaciones implícitas a las paramétricas 251
16.9. Complementos y ejercicios 254
17. Trasposición de aplicaciones lineales 263
17.1. Trasposición de una aplicación lineal 263
17.2. Traspuesta de una traspuesta 265
17.3. Trasposición entre espacios finito-dimensionales 265
17.4. Matriz y rango de la aplicación lineal traspuesta 266
17.5. Complementos y ejercicios 268
18. Cambios de bases 271
18.1. Matriz de un cambio de base 271
18.2. Cambios de bases y matrices regulares 271
18.3. Cambios de bases y automorfismos lineales 272
18.4. Composición de dos cambios 272
18.5. Cambio idéntico y cambio recíproco 273
18.6. Orientación de bases en espacios vectoriales reales 273
18.7. Cambio entre bases duales 274
18.8. Cambio de coordenadas 275
18.9. Complementos y ejercicios 276
19. Equivalencia y semejanza de matrices 281
19.1. Matriz de una aplicación lineal al cambiar de bases 281
19.2. Matrices equivalentes 282
19.3. Interpretación geométrica de la equivalencia de matrices 283
19.4. Equivalencia y rango. Matriz canónica de una clase 284
19.5. Matriz de un endomorfismo lineal al cambiar de base 285
19.6. Semejanza de matrices cuadradas 286
19.7. Interpretación geométrica de la semejanza de matrices 287
19.8. Traza y determinante de un endomorfismo 287
19.9. El grupo lineal especial de un espacio finito-dimensional 288
19.10. Paridad o imparidad de un automorfismo de un espacio real 289
19.11. Complementos y ejercicios 289
20. Clasificación de endomorfismos lineales. Preliminares 295
20.1. Semejanza de matrices y endomorfismos lineales 295
20.2. El problema de la diagonalización 295
20.3. El problema de la triangularización 296
20.4. Las formas canónicas de Jordan 297
21. Autovalores y autovectores de un endomorfismo lineal 299
21.1. Autovalores y autovectores 299
21.2. Subespacios invariantes por un endomorfismo 299
21.3. Autoespacio asociado a un autovalor 300
21.4. Caso finito-dimensional. Polinomio característico 301
21.5. Restricción de un endomorfismo a un subespacio invariante 303
21.6. Una cota para la Dimensión del autoespacio de un autovalor 306
21.7. Suma directa de subespacios invariantes 307
21.8. Autovectores asociados a autovalores distintos 307
21.9. Complementos y ejercicios 309
22. Triangularización y diagonalización de endomorfismos 315
22.1. Endomorfismos triangularizables y diagonalizables 315
22.2. Una condición necesaria 315
22.3. Caracterización de la triangularización 316
22.4. Diagonalización en el caso de espectro simple 318
22.5. Caracterización de la diagonalización 318
22.6. Complementos y ejercicios 320
23. Polinomio mínimo de un endomorfismo 325
23.1. Potencias naturales de un endomorfismo 325
23.2. Polinomios en un endomorfismo 326
23.3. El álgebra K[f] 326
23.4. Caso finito-dimensional. Polinomio mínimo de un endomorfismo 327
23.5. Teorema de Hamilton-Cayley 328
23.6. Raíces del polinomio mínimo 329
23.7. Polinomio mínimo en un subespacio invariante 330
23.8. Polinomio mínimo y suma directa 331
23.9. Espacios indescomponibles 331
23.10. Complementos y ejercicios 332
24. Descomposición primaria 335
24.1. Núcleo de un polinomio respecto de un endomorfismo 335
24.2. Existencia de subespacios f-invariantes propios 337
24.3. Descomposición primaria 339
24.4. Descomposición primaria para un endomorfismo triangularizable 341
24.5. Cálculo del polinomio mínimo de un endomorfismo triangularizable 342
24.6. Caracterización de la diagonalización mediante el polinomio mínimo 343
24.7. Complementos y ejercicios 344
25. Introducción a las formas de Jordan 347
25.1. El problema 348
25.2. Matrices de Jordan en dimensión 2 349
25.3. Matrices de Jordan en dimensión 3 351
25.4. Matrices de Jordan en dimensión 4 356
25.5. Comentarios finales 369
25.6. Complementos y ejercicios 372
26. Endomorfismos nilpotentes 377
26.1. Endomorfismos nilpotentes 377
26.2. Polinomio característico y mínimo de un endomorfismo nilpotente 377
26.3. Restricción a un subespacio invariante 378
26.4. Subespacios anuladores 378
26.5. Descomposición por complementación de un endomorfismo nilpotente 379
26.6. Base asociada a la descomposición por complementación 381
26.7. Espacios cíclicos respecto de un endomorfismo 383
26.8. Espacios cíclicos respecto de un endomorfismo nilpotente 383
26.9. Matriz de un endomorfismo nilpotente de un espacio cíclico 384
26.10. Subespacios cíclicos respecto de un endomorfismo nilpotente 385
26.11. Descomposición canónica de un endomorfismo nilpotente 385
26.12. Complementos y ejercicios 38
27. El Teorema de Jordan 391
27.1. Endomorfismos triangularizables con un solo autovalor 391
27.2. Teorema de Jordan para endomorfismos triangularizables 393
27.3. Complementos y ejercicios 394
28. Espacios vectoriales complejos 399
28.1. Motivación 399
28.2. Conjugación en el cuerpo de los números complejos 400
28.3. Aplicaciones semilineales 401
28.4. Conjugación de vectores complejos 402
28.5. Conjugación de matrices complejas 404
28.6. Conjugación de endomorfismos lineales complejos 405
28.7. Dimensión real de un espacio vectorial complejo 405
28.8. Complexificación de un espacio vectorial real 407
28.9. Complementos y ejercicios 409
29. Endomorfismos de espacios reales 411
29.1. Raíces imaginarias de un polinomio de coeficientes reales 411
29.2. Extensión de los endomorfismos reales al campo complejo 413
29.3. Autovectores de un autovalor imaginario 415
29.4. Autoespacio real de una pareja de autovalores complejos conjugados 416
29.5. Matriz canónica reducida real 418
29.6. Endomorfismos reales en dimensión 2 con autovalores imaginarios 422
29.7. Endomorfismos reales en dimensión 3 con autovalores imaginarios 422
29.8. Endomorfismos reales en dimensión 4 con autovalores imaginarios 423
29.9. Complementos y ejercicios 425
30. Espacios afines 429
30.1. El concepto de espacio afín. Dimensión 429
30.2. Los espacios vectoriales como espacios afines 429
30.3. Primeras propiedades de los espacios afines 430
30.4. Vector de posición de un punto 430
30.5. Subespacios afines 431
30.6. Caracterización de los subespacios afines 432
30.7. Subespacios afines de un espacio vectorial 433
30.8. Determinación de subespacios afines 433
30.9. Contenido entre subespacios afines 434
30.10. Incidencia de subespacios afines 434
30.11. Subespacios afines complementarios 435
30.12. Paralelismo de subespacios afines 436
30.13. Proyecciones paralelas 437
30.14. Combinaciones afines 437
30.15. Dependencia e independencia afín 440
30.16. Puntos medios y baricentros 443
30.17. Complementos y ejercicios 443
31. Coordenadas en espacios afines 447
31.1. Sistemas de referencia. Coordenadas 447
31.2. Ecuaciones paramétricas de un subespacio afín 448
31.3. Ecuaciones implícitas de un subespacio afín 450
31.4. Incidencia en dimensión finita 451
31.5. Paralelismo en dimensión finita 452
31.6. Posiciones relativas 453
31.7. Dependencia e independencia afín en dimensión finita 454
31.8. Complementos y ejercicios 456
32. Aplicaciones afines 461
32.1. Traslaciones en un espacio afín 461
32.2. El concepto de aplicación afín 463
32.3. Aplicaciones afines entre espacios vectoriales 464
32.4. Ejemplos de morfismos afines 464
32.5. Composición e inversión de aplicaciones afines 465
32.6. Ecuación vectorial de una aplicación afín 467
32.7. Determinación y descomposición de aplicaciones afines 468
32.8. Isomorfía de espacios afines 470
32.9. Aplicaciones afines y dependencia afín 470
32.10. Aplicaciones afines y subespacios afines 472
32.11. Aplicaciones afines y paralelismo 473
32.12. Puntos dobles de un endomorfismo afín 473
32.13. Matriz de una aplicación afín 474
32.14. Complementos y ejercicios 477
33. El grupo afín. Cambio de coordenadas 479
33.1. El grupo afín de un espacio afín 479
33.2. Grupo de las afinidades que tienen como doble un punto dado 480
33.3. Descomposición semidirecta del grupo afín 481
33.4. Matriz de una afinidad 481
33.5. Cambio de coordenadas en un espacio afín 482
33.6. Orientación de sistemas de referencia en espacios afines reales 483
33.7. Paridad e imparidad de las afinidades de un espacio real 484
33.8. Complementos y ejercicios 484
34. Simetrías, traslaciones y homotecias 487
34.1. Simetrías centrales 487
34.2. El grupo TC (E, K) 488
34.3. Homotecias afines 489
34.4. El grupo Hp (E, K) de las homotecias concéntricas 491
34.5. El grupo TH (E, K) 491
34.6. Composición de traslaciones con homotecias y simetrías centrales 494
34.7. Estructura de los grupos TH(E, K) y TC(E, K) 496
34.8. Proyecciones paralelas y simetrías oblicuas 497
34.9. Simetrías especulares y simetrías axiales 502
34.10. Complementos y ejercicios 503
Bibliografía 507