Algebra lineal para la economía / Sinesio Gutiérrez Valdeón.

CONTENIDO
Capítulo 1. Sobre las necesidades matemáticas en la economía 1
1.1 Introducción 1
1.2 Noción de equilibrio económico 1
1.3 Etapas en un análisis cuantitativo de equilibrio económico 2
Etapa de modelización 2
Etapa de resolución del modelo 3
Etapa de realización de predicciones 4
1.4 Análisis marginales 4
1.5 Análisis lineales 4
1.6 Objeto del álgebra lineal 5
Capítulo 2. Espacios vectoriales 7
2.1 Introducción 7
2.2 Concepto de espacio vectorial 7
Definición 8
Propiedades generales de los espacios vectoriales 8
2.3 Combinación lineal 10
2.4 Dependencia e independencia lineal 10
Propiedades 11
2.5 Sistema generador y base de un espacio vectorial 12
Propiedades 13
Dimensión 15
2.6 Subespacios vectoriales 15
Propiedades 16
2.7 Aplicaciones lineales. Espacios isomorfos 18
Propiedades 18
2.8 Espacios del tipo K supra n. Isomorfismo de Vn(K) con Kn 22
2.8.1 Isomorfismo de Vn(K) en Kn 23
Ejercicios 24
Capítulo 3. Teoría de matrices 27
3.1 Planteamiento 27
3.2 Matrices en Kn: definición y operaciones elementales 28
3.2.1 Suma matricial 28
3.2.2 Producto de escalar por matriz 29
3.2.3 Producto matricial 29
3.2.4 Transposición matricial 30
3.3 Determinante de una matriz cuadrada 31
3.3.1 Definición de determinante 31
3.3.2 Propiedades de los determinantes 32
Cálculo de determinantes por triangularización 35
3.4 Rango de una matriz 39
Propiedades 39
Cálculo del rango 40
3.5 Análisis matricial de la dependencia lineal en Kn 41
Ejercicios 42
Capítulo 4. Aplicaciones lineales entre espacios de dimensión finita 47
4.1 Introducción 47
4.2 Determinación y análisis de una aplicación lineal 47
4.2.1 Matriz de la aplicación 48
4.2.2 Análisis de la aplicación a través de su matriz 49
4.3 Operaciones elementales con aplicaciones lineales y con matrices 53
4.3.1 Suma de aplicaciones 54
4.3.2 Producto de escalar por aplicación lineal 55
4.4 Composición de aplicaciones y producto matricial 56
4.5 Endomorfismos. Inversión de endomorfismos y de matrices 57
4.5.1 Endomorfismo idéntico y matriz unidad 57
4.5.2 Inverso de un endomorfismo y de una matriz cuadrada 58
4.5.3 Cálculo de la inversa 60
4.6 Cambio de base en los espacios del tipo Kn 61
4.7 Efecto de un cambio de base en la matriz de una aplicación lineal 63
Caso particular de los endomorfismos 64
Ejercicios 65
Capítulo 5. Formas lineales. Subespacios vectoriales. Sistemas lineales 69
5.1 Introducción 69
5.2 Formas lineales. Dual de un espacio vectorial. Ortogonalidad 69
5.3 Ecuaciones de los subespacios de Rn. Sistemas homogéneos 73
5.4 Cálculos en relación con los subespacios vectoriales de Rn 75
5.5 Sistemas lineales 80
5.5.1 Discusión del sistema 81
5.5.2 Resolución del sistema 82
Ejercicios 86
Capítulo 6. Reducción de matrices semejantes a forma diagonal 89
6.1 Introducción 89
6.2 Polinomio característico. Autovectores. Autovalores 89
6.3 Matrices semejantes 93
6.4 Diagonalización de una matriz cuadrada 95
Existencia de matriz diagonal semejante 95
Cálculo de la matriz C que relaciona a A con su matriz diagonal 96
6.5 Cálculo de la potencia enésima de una matriz diagonalizable 98
Ejercicios 100
Capítulo 7. Diagonalización de matrices simétricas 103
7.1 Introducción 103
7.2 Producto escalar. Norma. Ortogonalidad 103
Definición de producto escalar 103
Norma o módulo de un vector 104
Ortogonalidad 105
7.3 Matrices ortogonales 107
7.4 Matrices simétricas. Propiedades de los autovalores y autovectores 108
7.5 Diagonalización de matrices simétricas reales 109
Caso general 111
Ejercicios 115
Capítulo 8. Formas cuadráticas reales sin restricciones 117
8.1 Introducción 117
8.2 Formas cuadráticas reales 117
Definición. Expresiones matricial y polinómica 117
8.3 Clasificación de las formas cuadráticas 118
8.4 Congruencia matricial. Expresiones diagonales 119
Matrices congruentes 119
Expresiones diagonales 119
Ley de inercia de las formas cuadráticas 120
8.5 Expresión diagonal de X AX a través de los autovalores de A 121
Aplicación al cálculo del signo 122
8.6 Estudio del signo de Q(x) 123
Ejercicios 126
Capítulo 9. Formas cuadráticas reales con restricciones 127
9.1 Introducción 127
9.2 Signo de X AX restringida a BX 127
9.3 Propiedades de las matrices definidas positivas 129
9.4 Criterio práctico para averiguar si X AX restringida a BX 131
9.5 Diagonalización simultánea de dos formas cuadráticas 134
Ejercicios 137
Capítulo 10. Restricciones de no negatividad y equilibrio económico. Análisis input-output 139
10.1 Restricciones de no negatividad 139
10.2 Condición de Hawkins-Simon 140
10.3 Análisis input-output 142
10.3.1 Relaciones input-output que no tienen en cuenta los precios 143
10.3.2 Relaciones input-output que tienen en cuenta los precios 146
10.3.3 Relaciones input-output expresadas en unidades de valor 149
Bibliografía 153