Análisis numérico : un enfoque práctico / Melvin J. Maron, Robert J. Lopez.

CONTENIDO
CONVENCIONES PARA EL PSEUDOCODIGO
Capítulo 1 ALGORITMOS, ERRORES Y DISPOSITIVOS DIGITALES
1.0 Introducción: La necesidad de los métodos numéricos
1.1 Implementación de métodos numéricos en dispositivos digitales
1.1.A Error y exactitud
1.1.B Estimación numérica de derivadas
1.1.C ¿Cometen errores los dispositivos digitales?
Problemas
1.2 Precisión fija y mal condicionamiento
1.2.A Representación de punto flotante normalizada
1.2.B Error inherente y precisión fija
1.2.C Mal condicionamiento
Problemas
1.3 Errores en aritmética de precisión fija
1.3.A Propagación del error en los cálculos aritméticos
1.3.B Los errores al aproximar f'(c) por delta f(c)/h
1.3.C Algunas estrategias para minimizar el error de redondeo
1.3.D Análisis cuantitativo del redondeo propagado
Problemas
Problemas diversos
Capítulo 2 METODOS NUMERICOS PARA RESOLVER ECUACIONES EN UNA VARIABLE
2.0 Introducción
2.1 Algoritmos iterativos
2.1.A Convergencia de los algoritmos iterativos
2.1.B Visualización de un método iterativo como una sustitución repetida
2.1.C Visualización gráfica de la sustitución repetida
2.1.D Aceleración de la convergencia lineal: fórmula de Aitken
Problemas
2.2 Métodos numéricos para resolver f(x) igual a 0
2.2 Estrategia del método de la pendiente
2.2.B Método de Newton-Raphson: m k )
2.2.C Método de la secante m k
2.2.D Overshoot, ciclamiento y desviación
2.2.E Comparación de los métodos de pendiente
2.2.F Métodos de encierro: bisección y falsa posición
Problemas
2.3 Algunos aspectos prácticos de la búsqueda de raíces
2.3.A Localización de raíces no repetidas
2.3.B Raíces múltiples y error de redondeo
2.3.C Búsqueda de raíces de polinomios: método de M ller
Problemas
Problemas diversos
Capítulo 3 METODOS DIRECTOS PARA RESOLVER SISTEMAS LINEALES
3.0 Introducción
3.1 Propiedades básicas de las matrices
3.1.A Terminología y notación
3.1.B Suma, resta y multiplicación por un escalar
3.1.C Multiplicación de matrices
3.1.D La inversa de una matriz no singular
3.1.E El determinante de una matriz cuadrada
Problemas
3.2 Introducción a los métodos directos
3.2.A Forma matricial de un sistema lineal de n x n
3.2.B Solución de sistemas triangulares
3.2.C Eliminación gaussiana básica
3.2.D Conteo de operaciones aritméticas
3.2.E Eliminación gaussiana para sistemas tridiagonales
Problemas
3.3 Eliminación gaussiana con pivoteo
3.3.A La necesidad de pivotear
3.3.B Eliminación gaussiana con pivoteo parcial escalado
3.3.C Selección de una estrategia de pivoteo
3.3.D Singularidad y mal condicionamiento
3.3.E Software confiable para resolver sistemas lineales
Problemas
3.4 Métodos basados en factorización triangular
3.4.A Descomposición de A por reducción sobre sí misma
3.4.B Solución eficiente de Ax1
3.4.C Búsqueda de A -1 y conteo de operaciones
3.4.D Factorización de Choleski de una matriz simétrica
3.4.E Fórmulas de factorización de Crout y Doolittle
Problemas
Problemas diversos
Capítulo 4
SOLUCION EXACTA DE SISTEMAS DE ECUACIONES
4.0 Introducción
4.1 Identificación y manejo del mal condicionamiento
4.1.A Indicadores del mal condicionamiento
4.1.B Residuo y mejoramiento iterativo
4.1.C Normas matriciales y el número de condición cond A
Problemas
4.2 Métodos para resolver sistemas lineales grandes
4.2.A Métodos de Jacobi y Gauss-Seidel
4.2.B Mejoramiento de la convergencia de la iteración de Gauss-Seidel
4.2.C Solución directa de sistemas no densos
Problemas
4.3 Solución de sistemas de ecuaciones no lineales
4.3.A Introducción a los sistemas no lineales de 2 x 2
4.3.B El método de Newton
Raphson para sistemas de 2 x 2
4.3.C El método Newton-Raphson para sistemas de n x n
4.3.D Otros métodos para resolver sistemas no lineales
Problemas
4.4 Reducción óptima del error de redondeo propagado
4.4.A Estrategias óptimas de pivoteo
4.4.B Descomposición eficiente de Crout
Problemas
Problemas diversos
Capítulo 5 AJUSTE DE CURVAS DISCRETAS
5.0 Introducción
5.1 Ajuste de curvas discretas por mínimos cuadrados
5.1.A El criterio de error de los mínimos cuadrados
5.1.B Uso de un ajuste de dos parámetros
5.1.C Linearización a línea recta
Problemas
5.2 Ajuste de curvas discretas usando modelos lineales
5.2.A Modelos lineales de n parámetros
5.2.B Indice de determinacion R(g)
5.2.C Ajuste de polinomios: problema de las oscilaciones polinomiales
5.2.D ¿Cuántos parámetros?
5.2.E Mínimos cuadrados lineales y sistemas sobredeterminados
Problemas
Problemas diversos
Capítulo 6
INTERPOLACION
6.0 Introducción
6.1 El polinomio interpolante único para P k,..., P m
6.1.A Interpolación lineal y cuadrática
6.1.B Formas de Newton y de Lagrange de Pk,. (x)
6.1.C Diferencias divididas y la forma eficiente de Newton
6.1.D Interpolación osculatoria
6.1.E Fórmula de Neville
Problemas
6.2 Interpolación polinomial
6.2.A La fórmula del error y las interpolaciones óptimas
6.2.B Interpolación usando nodos espaciados por h
6.2.C Interpolación de Chebyshev (Minimax)
6.2.D Interpolación inversa
Problemas
6.3 Interpolación usando trazadores cúbicos segmentados
6.3.A Trazadores cúbicos segmentados
6.3.B Estrategias de puntos extremos
6.3.C Algoritmo para hallar un trazador cúbico
6.3.D Interpolación polinomial y trazador cúbico
Problemas
Problemas diversos
Capítulo 7 METODOS NUMERICOS PARA DIFERENCIACION E INTEGRACION
7.0 Introducción
7.1 Diferenciación numérica y fórmula de Richardson
7.1.A Aproximación de f'(c) mediante delta f(c)/h y delta f(c)/2h
7.1.B Uso de series para determinar el orden de delta f(c)/h, delta f(c)/2h y delta 2 f(c)/h 2
7.1.C Dilema del tamaño de paso
7.1.D Fórmula de mejoramiento de Richardson
7.1.E Refinamiento iterativo de Richardson
7.1.F Aproximación de f'(c),., f(iv) (c) usando nodos igualmente espaciados
7.1.G Mejoramiento iterativo generalizado de Richardson
7.1.H Uso de polinomios de Lagrange para obtener exactitud polinomial
Problemas
7.2 Métodos de cuadratura que muestrean puntos extremos
7.2.A Exactitud polinomial de las fórmulas de cuadratura
7.2.B Fórmulas para uno y dos subintervalos
7.2.C Reglas trapezoidal y de Simpson compuestas: T [h] y S[h]
7.2.D Integración de Romberg
7.2.E Cuadratura adaptativa
Problemas
7.3 Métodos que no necesitan muestrear puntos extremos
7.3.A Fórmulas de cuadratura de Gauss para integral de b en a f(x)w(x)dx
7.3.B Cuadratura de Gauss-Legendre en [a, b]
7.3.C Selección de un método para estimar una integral propia
7.3.D Estrategias para integrales impropias
7.3.E Fórmulas cúbicas exactas para funciones tabuladas
Problemas
7.4 Integración doble
7.4.A Obtención de estimaciones burdas de I
7.4.B Aproximación exacta de I
Problemas
Problemas diversos
Capítulo 8 METODOS NUMERICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
8.0 Introducción
8.1 Problema de valor inicial
8.1.A Existencia y unicidad de soluciones
8.1.B Método de Euler
8.1.C Orden de un método numérico
8.1.D Métodos de Euler modificado y de Heun
8.1.E Inestabilidad
8.1.F Rigidez
Problemas
8.2 Métodos autoiniciantes
8.2.A Método de Runge-Kutta de cuarto orden
8.2.B Método de Runge-Kutta-Fehlberg de cuarto orden
8.2.C Métodos de extrapolación
8.2.D Método de Taylor
8.2.E Fórmulas generales de Runge-Kutta
Problemas
8.3 Métodos de multipaso (predictor-corrector)
8.3.A Estrategias predictor-corrector
8.3.B Selección de un método para resolver un (PVI)
8.3.C Control de tamaño de paso y estabilidad
Problemas
8.4 Sistemas de primer orden y PVI de nésimo orden
8.4.A Notación y terminología
8.4.B Métodos numéricos para resolver (PVI)
8.4.C Solución de PVI de nésimo orden: reducción de orden
Problemas
8.5 Problemas de valores en la frontera de dos puntos
8.5.A Método de disparo
8.5.B Importancia de la linearidad para el método del disparo
8.5.C Método de diferencias finitas
8.5.D Método de diferencias finitas cuando el (PVF)2 es lineal
8.5.E Comparación del método del disparo y el método de diferencias finitas
Problemas
Problemas diversos
Capítulo 9 EINGENVALORES
9.0 Introducción
9.1 Problema algebraico del eigenvalor
9.1.A Polinomio característico
9.1.B Método de potencia escalado
9.1.C Método de potencia inverso
9.1.D Corrimiento de eingenvalores y el teorema de Gerschgorin
9.1.E Problema del eigenvalor generalizado
Problemas
9.2 Similaridad, ortogonalidad y factorización QR
9.2.A Matrices similares y diagonalizabilidad
9.2.B Matrices ortogonales
9.2.C Reflexiones aniquiladoras de Householder
9.2.D Factorización QR
9.2.E Similaridad Hessenberg superior
9.2.F Factorización QR Hessenberg superior
Problemas
9.3 El método QR
9.3.A Uso de factores QR para hallar eigenvalores
9.3.B Método QR con corrimiento
9.3.C Cálculo eficiente de eingenvalores
Problemas
9.4 Uso de eigenvalores para elucidar la estructura de A
9.4.A Teorema del eje principal
9.4.B Matrices positivas definidas
9.4.C Relación de ||A|| y cond A con los eingenvalores de A
Problemas
9.5 Valores característicos y solución de PVF homogéneos
9.5.A Estimación de valores característicos
9.5.B Ecuación de Sturm-Liouville
Problemas
Problemas diversos
Capítulo 10 APROXIMACION DE FUNCIONES
10.0 Introducción
10.1 Aproximación basada en las series de Taylor y Fourier
10.1.A Cálculo de cotas para el nésimo residuo
10.1.B Aproximación de Padé
10.1.C Economización de Chebyshev
10.1.D Aproximación de Chebyshev-Padé
10.1.E Aproximación trigonométrica mediante una TRF
Problemas
10.2 Funciones ortogonales en el análisis de mínimos cuadrados
10.2.A Ajuste de curvas como un problema de distancia mínima
10.2.B Conjuntos ortogonales y aproximación de Fourier generalizada
10.2.C Generación de polinomios ortogonales
10.2.D Ajuste de curvas discretas usando polinomios ortogonales
10.2.E Ajuste de curvas continuas usando polinomios ortogonales
Problemas
Problemas diversos
Apéndice I REPASO DE LOS RESULTADOS BASICOS DEL CALCULO
I.1 Cálculo diferencial
I.1.A Límites y continuidad
I.1.B Derivadas
I.1.C Aproximación polinomial de Taylor
I.1.D Series de Taylor y de Maclaurin
I.1.E Notación de incrementos
I.2 Cálculo integral
I.2.A Integrabilidad de Riemann
I.2.B Teorema fundamental del cálculo
I.3 Cálculo multivariable
I.3.A Continuidad y diferenciabilidad parcial
I.3.B Diferencial total
Apéndice II ELABORACION Y USO DE SOFTWARE CONFIABLE
II.A Solución de una ecuación en una variable
II.B Solución de un sistema de ecuaciones lineales
II.C Evaluación de una integral definida
II.D Solución de un problema de valor inicial
II.E Solución de un problema de valores en la frontera de dos puntos
II.F Cálculo de la transformada rápida de Fourier (TRF)
II.G Ajuste polinomial
Apéndice III GLOSARIO DE SIMBOLOS Y ABREVIATURAS
BIBLIOGRAFIA
RESPUESTAS A PROBLEMAS SELECCIONADOS
INDICE