Cálculus. Volumen 2, Cálculo con funciones de varias variables y álgebra lineal, con aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y a las probabilidades / Tom M. Apostol.

Traducción de: Calculus, Multi-variable calculus and linear algebra, with applications to differential equations and probability

CONTENIDO
Parte 1. Análisis lineal
1. ESPACIOS LINEALES
1.1 Introducción
1.2 Definición de espacio lineal
1.3 Ejemplos de espacios lineales
1.4 Consecuencias elementales de los axiomas
1.5 Ejercicios
1.6 Subespacios de un espacio lineal
1.7 Conjuntos dependientes e independientes en un espacio lineal
1.8 Bases y dimensión
1.9 Componentes
1.10 Ejercicios
1.11 Productos interiores, espacios euclídeos. Normas
1.12 Ortogonalidad en un espacio euclídeo
1.13 Ejercicios
1.14 Construcción de conjuntos ortogonales. Método de Gram-Schmidt
1.15 Complementos ortogonales. Proyecciones
1.16 Aproximación óptima de elementos de un espacio euclídeo por elementos de un subespacio de dimensión finita
1.17 Ejercicios
2. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES
2.1 Transformaciones lineales
2.2 Núcleo y recorrido
2.3 Dimensión del núcleo y rango de la transformación
2.4 Ejercicios
2.5 Operaciones algebraicas con transformaciones lineales
2.6 Inversas
2.7 Transformaciones lineales uno a uno
2.8 Ejercicios
2.9 Transformaciones lineales con valores asignados
2.10 Representación matricial de las transformaciones lineales
2.11 Construcción de una representación matricial en forma diagonal
2.12 Ejercicios
2.13 Espacios lineales de matrices
2.14 Isomorfismo entre transformaciones lineales y matrices
2.15 Multiplicación de matrices
2.16 Ejercicios
2.17 Sistemas de ecuaciones lineales
2.18 Técnicas de cálculo
2.19 Inversas de matrices cuadradas
2.20 Ejercicios
2.21 Ejercicios varios sobre matrices
3. DETERMINANTES
3.1 Introducción
3.2 Justificación de la elección de los axiomas para una función determinante
3.3 Conjunto de axiomas que definen una función determinante
3.4 Cálculo de determinantes
3.5 El teorema de unicidad
3.6 Ejercicios
3.7 Producto de determinantes
3.8 Determinante de la matriz inversa de una matriz no singular
3.9 Determinantes e independencia de vectores
3.10 Determinante de una matriz diagonal en bloques
3.11 Ejercicios
3.12 Fórmulas para desarrollar determinantes. Menores y cofactores
3.13 Existencia de la función determinante
3.14 Determinante de una matriz transpuesta
3.15 La matriz cofactor
3.16 Regla de Cramer
3.17 Ejercicios
4. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES
4.1 Transformaciones lineales representadas mediante matrices diagonales
4.2 Autovectores y autovalores de una transformación lineal
4.3 Independencia lineal de autovectores correspondientes a autovalores distintos
4.4 Ejercicios
4.5 Caso de dimensión finita. Polinomios característicos
4.6 Cálculo de autovalores y autovectores en el caso de dimensión finita
4.7 Traza de una matriz
4.8 Ejercicios
4.9 Matrices que representan la misma transformación lineal. Matrices lineales
4.10 Ejercicios
5. AUTO-VALORES DE OPERADORES EN ESPACIOS EUCLIDEOS
5.1 Autovalores y productos interiores o escalares
5.2 Transformaciones hermitianas y hemi-hermitianas
5.3 Autovalores y autovectores de los operadores hermitianos y hemi-hermitianos
5.4 Ortogonalidad de los autovectores correspondientes a autovalores distintos
5.5 Ejercicios
5.6 Existencia de un conjunto ortonormal de autovectores para operadores hermitianos y hemi-hermitianos que actúan en espacios de dimensión finita
5.7 Representación matricial para operadores hermitianos y hemi-hermitianos
5.8 Matrices hermitianas y hemi-hermitianas. Matriz adjunta de una matriz
5.9 Diagonalización de una matriz hermitiana o hemi-hermitiana
5.10 Matrices unitarias. Matrices ortogonales
5.11 Ejercicios
5.12 Formas cuadráticas
5.13 Reducción de una forma cuadrática real a forma diagonal
5.14 Aplicaciones a la Geometría Analítica
5.15 Ejercicios
5.16 Autovalores de una transformación simétrica obtenidos como valores de su forma cuadrática
5.17 Propiedades relativas a extremos de los autovalores de una transformación simétrica
5.18 Caso de dimensión finita
5.19 Transformaciones unitarias
5.20 Ejercicios
6. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES
6.1 Introducción histórica
6.2 Revisión de los resultados relativos a las ecuaciones de primer y segundo orden
6.3 Ejercicios
6.4 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n
6.5 Teorema de existencia y unicidad
6.6 Dimensión del espacio solución de una ecuación lineal homogénea
6.7 Álgebra de operadores de coeficientes constantes
6.8 Determinación de una base de soluciones para ecuaciones lineales con coeficientes constantes por factorización de operadores
6.9 Ejercicios
6.10 Relación entre las ecuaciones homogéneas y no homogéneas
6.11 Determinación de una solución particular de la ecuación no homogénea. Método de variación de constantes
6.12 No singularidad de la matriz wronskiana de n soluciones independientes de una ecuación lineal homogénea
6.13 Métodos especiales para determinar una solución particular de la ecuación no homogénea. Reducción a un sistema de ecuaciones lineales de primer orden
6.14 Método del anulador para determinar una solución particular de la ecuación no homogénea
6.15 Ejercicios
6.16 Ejercicios varios sobre ecuaciones diferenciales lineales
6.17 Ecuaciones lineales de segundo orden con coeficientes analíticos
6.18 La ecuación de Legendre
6.19 Polinomios de Legendre
6.20 Fórmula de Rodríguez para los polinomios de Legendre
6.21 Ejercicios
6.22 Método de Frobenius
6.23 Ecuación de Bessel
6.24 Ejercicios
7. SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES
7.1 Introducción
7.2 Cálculo con funciones matriciales
7.3 Series de matrices. Normas de matrices
7.4 Ejercicios
7.5 Exponencial de una matriz
7.6 Ecuación diferencial que se satisface por e(tA)
7.7 Teorema de unicidad para la ecuación diferencial matricial F'(t)
7.8 Ley de exponentes para exponenciales de matrices
7.9 Teoremas de existencia y unicidad para sistemas lineales homogéneos con coeficientes constantes
7.10 El problema de calcular e(tA)
7.11 Teorema de Cayley-Hamilton
7.12 Ejercicios
7.13 Método de Putzer para calcular e(tA)
7.14 Otros métodos para calcular e(tA) en casos especiales
7.15 Ejercicios
7.16 Sistemas lineales no homogéneos con coeficientes constantes
7.17 Ejercicios
7.18 Sistema lineal general Y'(t)
7.19 Resolución de sistemas lineales homogéneos mediante series de potencias
7.20 Ejercicios
7.21 Demostración del teorema de existencia por el método de las aproximaciones sucesivas
7.22 Aplicación del método de aproximaciones sucesivas a los sistemas no lineales de primer orden
7.23 Demostración de un teorema de existencia y unicidad para sistemas no lineales de primer orden
7.24 Ejercicios
7.25 Aproximaciones sucesivas y puntos fijos de operadores
7.26 Espacios lineales normados
7.27 Operadores de contracción
7.28 Teorema del punto fijo para operadores de contracción
7.29 Aplicaciones del teorema del punto fijo
Parte 2. Análisis no lineal
8. CALCULO DIFERENCIAL EN CAMPOS ESCALARES Y VECTORIALES
8.1 Funciones de Rn en Rm. Campos escalares y vectoriales
8.2 Bolas abiertas y conjuntos abiertos
8.3 Ejercicios
8.4 Límites y continuidad
8.5 Ejercicios
8.6 La derivada de un campo escalar respecto a un vector
8.7 Derivadas direccionales y derivadas parciales
8.8 Derivadas parciales de orden superior
8.9 Ejercicios
8.10 Derivadas direccionales y continuidad
8.11 La diferencial
8.12 Gradiente de un campo escalar
8.13 Condición suficiente de diferenciabilidad
8.14 Ejercicios
8.15 Regla de la cadena para derivadas de campos escalares
8.16 Aplicaciones geométricas. Conjuntos de nivel. Planos tangentes
8.17 Ejercicios
8.18 Diferenciales de campos vectoriales
8.19 La diferenciabilidad implica la continuidad
8.20 La regla de la cadena para diferenciales de campos vectoriales
8.21 Forma matricial de la regla de la cadena
8.22 Ejercicios
8.23 Condiciones suficientes para la igualdad de las derivadas parciales mixtas
8.24 Ejercicios varios
9. APLICACIONES DE CALCULO DIFERENCIAL
9.1 Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales
9.2 Ecuación en derivadas parciales de primer orden con coeficientes constantes
9.3 Ejercicios
9.4 La ecuación de ondas uni-dimensional
9.5 Ejercicios
9.6 Derivación de funciones definidas implícitamente
9.7 Ejemplos resueltos
9.8 Ejercicios
9.9 Máximos, mínimos y puntos de ensilladura
9.10 Fórmula de Taylor de segundo orden para campos escalares
9.11 Determinación de la naturaleza de un punto estacionario por medio de los autovalores de la matriz hessiana
9.12 Criterio de las derivadas segundas para determinar extremos de funciones de dos variables
9.13 Ejercicios
9.14 Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange
9.15 Ejercicios
9.16 Teorema del valor extremo para campos escalares continuos
9.17 Teorema de la continuidad uniforme para campos escalares continuos
10. INTEGRALES DE LINEA
10.1 Introducción
10.2 Caminos e integrales de línea
10.3 Otras notaciones para las integrales de línea
10.4 Propiedades fundamentales de las integrales de línea
10.5 Ejercicios
10.6 El concepto de trabajo como integral de línea
10.7 Integrales de línea con respecto a la longitud de arco
10.8 Otras aplicaciones de las integrales de línea
10.9 Ejercicios
10.10 Conjuntos conexos abiertos. Independientes del camino
10.11 Segundo teorema fundamental del cálculo para integrales de línea
10.12 Aplicaciones a la Mecánica
10.13 Ejercicios
10.14 El primer teorema fundamental del cálculo para integrales de línea
10.15 Condiciones necesarias y suficientes para que un campo vectorial sea un gradiente
10.16 Condiciones necesarias para que un campo vectorial sea un gradiente
10.17 Métodos especiales para construir funciones potenciales
10.18 Ejercicios
10.19 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales exactas de primer orden
10.20 Ejercicios
10.21 Funciones de potencial en conjuntos convexos
11. INTEGRALES MULTIPLES
11.1 Introducción
11.2 Particiones de rectángulos. Funciones escalonadas
11.3 Integral doble de una función escalonada
11.4 Definición de integral doble de una función definida y acotada en un rectángulo
11.5 Integrales dobles superior e inferior
11.6 Cálculo de una integral doble por integración uni-dimensional reiterada
11.7 Interpretación geométrica de la integral doble como un volumen
11.8 Ejemplos resueltos
11.9 Ejercicios
11.10 Integrabilidad de funciones continuas
11.11 Integrabilidad de funciones acotadas con discontinuidades
11.12 Integrales dobles extendidas a regiones más generales
11.13 Aplicaciones a áreas y volúmenes
11.14 Ejemplos resueltos
11.15 Ejercicios
11.16 Otras aplicaciones de las integrales dobles
11.17 Dos teoremas de Pappus
11.18 Ejercicios
11.19 Teorema de Green en el plano
11.20 Algunas aplicaciones del teorema de Green
11.21 Condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial bi-dimensional sea un gradiente
11.22 Ejercicios
11.23 Teorema de Green para regiones múltiplemente conexas
11.24 El número de giros
11.25 Ejercicios
11.26 Cambio de variables en una integral doble
11.27 Casos particulares de la fórmula de transformación
11.28 Ejercicios
11.29 Demostración de la fórmula de transformación en un caso particular
11.30 Demostración de la fórmula de transformación en el caso general
11.31 Extensiones a un número mayor de dimensiones
11.32 Cambio de variables en una integral n-múltiple
11.33 Ejemplos resueltos
11.34 Ejercicios
12. INTEGRALES DE SUPERFICIE
12.1 Representación paramétrica de una superficie
12.2 Producto vectorial fundamental
12.3 El producto vectorial fundamental, considerado como una normal a la superficie
12.4 Ejercicios
12.5 Área de una superficie paramétrica
12.6 Ejercicios
12.7 Integrales de superficie
12.8 Cambio de representación paramétrica
12.9 Otras notaciones para las integrales de superficie
12.10 Ejercicios
12.11 Teorema de Stokes
12.12 El rotacional y la divergencia de un campo vectorial
12.13 Ejercicios
12.14 Otras propiedades del rotacional y de la divergencia
12.15 Ejercicios
12.16 Reconstrucción de un campo vectorial a partir de su rotacional
12.17 Ejercicios
12.18 Extensiones del teorema de Stokes
12.19 Teorema de la divergencia (teorema de Gauss)
12.20 Aplicaciones del teorema de la divergencia
12.21 Ejercicios
Parte 3. Temas especiales
13. FUNCIONES DE CONJUNTO Y PROBABILIDAD ELEMENTAL
13.1 Introducción histórica
13.2 Funciones de conjunto con aditividad finita
13.3 Medidas con aditividad finita
13.4 Ejercicios
13.5 Definición de probabilidad para espacios muestrales finitos
13.6 Terminología propia del cálculo de probabilidades
13.7 Ejercicios
13.8 Ejemplos resueltos
13.9 Ejercicios
13.10 Algunos principios básicos de análisis combinatorio
13.11 Ejercicios
13.12 Probabilidades condicionadas
13.13 Independencia
13.14 Ejercicios
13.15 Experimentos o pruebas compuestas
13.16 Pruebas de Bernoulli
13.17 Número más probable de éxitos en n pruebas de Bernoulli
13.18 Ejercicios
13.19 Conjuntos numerables y no numerables
13.20 Ejercicios
13.21 Definición de probabilidad para espacios muestrales infinitos numerables
13.22 Ejercicios
13.23 Ejercicios variados sobre probabilidades
14. CALCULO DE PROBABILIDADES
14.1 Definición de probabilidad para espacios muestrales no numerables
14.2 Numerabilidad del conjunto de puntos con probabilidad positiva
14.3 Variables aleatorias
14.4 Ejercicios
14.5 Funciones de distribución
14.6 Discontinuidad de las funciones de distribución
14.7 Distribuciones discretas. Funciones de masa de probabilidad
14.8 Ejercicios
14.9 Distribuciones continuas. Funciones de densidad
14.10 Distribución uniforme sobre un intervalo
14.11 Distribución de Cauchy
14.12 Ejercicios
14.13 Distribuciones exponenciales
14.14 Distribuciones normales
14.15 Observaciones sobre distribuciones más generales
14.16 Ejercicios
14.17 Distribuciones de funciones de variables aleatorias
14.18 Ejercicios
14.19 Distribución de variables aleatorias bidimensionales
14.20 Distribuciones discretas bidimensionales
14.21 Distribuciones continuas bidimensionales. Funciones de densidad
14.22 Ejercicios
14.23 Distribuciones de funciones de dos variables aleatorias
14.24 Ejercicios
14.25 Esperanza y varianza
14.26 Esperanza de una función de una variable aleatoria
14.27 Ejercicios
14.28 Desigualdad de Chebyshev
14.29 Leyes de los grandes números
14.30 El teorema central del límite
14.31 Ejercicios
Referencias citadas
15. INTRODUCCION AL ANALISIS NUMERICO
15.1 Introducción histórica
15.2 Aproximaciones por polinomios
15.3 Aproximaciones polínómicas y espacios lineales normados
15.4 Problemas fundamentales en la aproximación por polinomios
15.5 Ejercicios
15.6 Polinomios de interpolación
15.7 Puntos de interpolación igualmente separados
15.8 Análisis del error de la interpolación por polinomios
15.9 Ejercicios
15.10 Fórmula de interpolación de Newton
15.11 Puntos de interpolación igualmente separados. El operador de las diferencias sucesivas
15.12 Polinomios factoriales
15.13 Ejercicios
15.14 Problema de mínimo relativo a la norma del máximo
15.15 Polinomios de Chebyshev
15.16 Propiedad de mínimo de los polinomios de Chebyshev
15.17 Aplicación a la fórmula del error en la interpolación
15.18 Ejercicios
15.19 Integración aproximada. Regla de los trapecios
15.20 Regla de Simpson
15.21 Ejercicios
15.22 Fórmula de sumación de Euler
15.23 Ejercicios
Referencias citadas
Soluciones a los ejercicios
Indice